Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3075 / 5019
↖ ↑ ↗
← S 37.544577°
W 44.868164°		 ← 3 874.40 m → S 37.544577°
W 44.824219°		 →
↑
3 873.50 m
↓
↑
3 873.50 m
↓
S 37.579413°
W 44.868164°		 ← 3 872.59 m →
15 003 999 m²		 S 37.579413°
W 44.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37542724609375 y=0.61273193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37542724609375 × 213)
    floor (0.37542724609375 × 8192)
    floor (3075.5)     		tx = 3075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61273193359375 × 213)
    floor (0.61273193359375 × 8192)
    floor (5019.5)     		ty = 5019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3075 / 5019 ti = "13/3075/5019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3075/5019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3075 ÷ 213
    3075 ÷ 8192     		x = 0.3753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5019 ÷ 213
    5019 ÷ 8192     		y = 0.6126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78309719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6126708984375 × 2 - 1) × π
    -0.225341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.707932133588989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78309719} λ = -0.78309719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707932133588989))-π/2
    2×atan(0.492661903860855)-π/2
    2×0.457759918146207-π/2
    0.915519836292414-1.57079632675     		φ = -0.65527649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78309719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.868164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65527649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.544577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3075 KachelY 5019 -0.78309719 -0.65527649 -44.868164 -37.544577
    Oben rechts KachelX + 1 3076 KachelY 5019 -0.78233020 -0.65527649 -44.824219 -37.544577
    Unten links KachelX 3075 KachelY + 1 5020 -0.78309719 -0.65588448 -44.868164 -37.579413
    Unten rechts KachelX + 1 3076 KachelY + 1 5020 -0.78233020 -0.65588448 -44.824219 -37.579413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65527649--0.65588448) × R
    0.000607990000000003 × 6371000     		dl = 3873.50429000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65527649--0.65588448) × R
    0.000607990000000003 × 6371000     		dr = 3873.50429000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78309719--0.78233020) × cos(-0.65527649) × R
    0.000766990000000023 × 0.792879471351661 × 6371000     		do = 3874.40021653875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78309719--0.78233020) × cos(-0.65588448) × R
    0.000766990000000023 × 0.792508828801761 × 6371000     		du = 3872.58907420568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65527649)-sin(-0.65588448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792879471351661-0.792508828801761)×R²
    abs(-0.78233020--0.78309719)×0.000370642549899936×R²
    0.000766990000000023×0.000370642549899936×6371000²
    0.000766990000000023×0.000370642549899936×40589641000000     		ar = 15003998.5883321m²