Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30745 / 17383
↖ ↑ ↗
← N 64.227881°
W 11.112671°		 ← 265.59 m → N 64.227881°
W 11.107178°		 →
↑
265.61 m
↓
↑
265.61 m
↓
N 64.225493°
W 11.112671°		 ← 265.62 m →
70 547 m²		 N 64.225493°
W 11.107178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469139099121094 y=0.265251159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469139099121094 × 216)
    floor (0.469139099121094 × 65536)
    floor (30745.5)     		tx = 30745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265251159667969 × 216)
    floor (0.265251159667969 × 65536)
    floor (17383.5)     		ty = 17383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30745 / 17383 ti = "16/30745/17383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30745/17383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30745 ÷ 216
    30745 ÷ 65536     		x = 0.469131469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17383 ÷ 216
    17383 ÷ 65536     		y = 0.265243530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469131469726562 × 2 - 1) × π
    -0.061737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19395270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265243530273438 × 2 - 1) × π
    0.469512939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47501840130913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19395270} λ = -0.19395270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47501840130913))-π/2
    2×atan(4.37111620645026)-π/2
    2×1.34589216174671-π/2
    2.69178432349342-1.57079632675     		φ = 1.12098800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19395270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.112671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12098800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.227881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30745 KachelY 17383 -0.19395270 1.12098800 -11.112671 64.227881
    Oben rechts KachelX + 1 30746 KachelY 17383 -0.19385682 1.12098800 -11.107178 64.227881
    Unten links KachelX 30745 KachelY + 1 17384 -0.19395270 1.12094631 -11.112671 64.225493
    Unten rechts KachelX + 1 30746 KachelY + 1 17384 -0.19385682 1.12094631 -11.107178 64.225493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12098800-1.12094631) × R
    4.16900000002052e-05 × 6371000     		dl = 265.606990001307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12098800-1.12094631) × R
    4.16900000002052e-05 × 6371000     		dr = 265.606990001307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19395270--0.19385682) × cos(1.12098800) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.434792934540137 × 6371000     		do = 265.593907557365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19395270--0.19385682) × cos(1.12094631) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.434830477277033 × 6371000     		du = 265.616840593762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12098800)-sin(1.12094631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434792934540137-0.434830477277033)×R²
    abs(-0.19385682--0.19395270)×3.75427368964898e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.75427368964898e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.75427368964898e-05×40589641000000     		ar = 70546.6439465918m²