Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30744 / 17384
↖ ↑ ↗
← N 64.225493°
W 11.118164°		 ← 265.59 m → N 64.225493°
W 11.112671°		 →
↑
265.61 m
↓
↑
265.61 m
↓
N 64.223104°
W 11.118164°		 ← 265.61 m →
70 545 m²		 N 64.223104°
W 11.112671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469123840332031 y=0.265266418457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469123840332031 × 216)
    floor (0.469123840332031 × 65536)
    floor (30744.5)     		tx = 30744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265266418457031 × 216)
    floor (0.265266418457031 × 65536)
    floor (17384.5)     		ty = 17384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30744 / 17384 ti = "16/30744/17384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30744/17384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30744 ÷ 216
    30744 ÷ 65536     		x = 0.4691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17384 ÷ 216
    17384 ÷ 65536     		y = 0.2652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19404857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2652587890625 × 2 - 1) × π
    0.469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47492252750989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19404857} λ = -0.19404857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47492252750989))-π/2
    2×atan(4.37069715102117)-π/2
    2×1.34587131822154-π/2
    2.69174263644308-1.57079632675     		φ = 1.12094631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19404857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12094631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.225493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30744 KachelY 17384 -0.19404857 1.12094631 -11.118164 64.225493
    Oben rechts KachelX + 1 30745 KachelY 17384 -0.19395270 1.12094631 -11.112671 64.225493
    Unten links KachelX 30744 KachelY + 1 17385 -0.19404857 1.12090462 -11.118164 64.223104
    Unten rechts KachelX + 1 30745 KachelY + 1 17385 -0.19395270 1.12090462 -11.112671 64.223104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12094631-1.12090462) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dl = 265.606989999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12094631-1.12090462) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dr = 265.606989999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19404857--0.19395270) × cos(1.12094631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.434830477277033 × 6371000     		do = 265.589137544069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19404857--0.19395270) × cos(1.12090462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43486801925817 × 6371000     		du = 265.612067727009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12094631)-sin(1.12090462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434830477277033-0.43486801925817)×R²
    abs(-0.19395270--0.19404857)×3.75419811364797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75419811364797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75419811364797e-05×40589641000000     		ar = 70545.3766181737m²