Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30737 / 20365
↖ ↑ ↗
← N 56.130246°
W 11.156616°		 ← 340.43 m → N 56.130246°
W 11.151123°		 →
↑
340.47 m
↓
↑
340.47 m
↓
N 56.127184°
W 11.156616°		 ← 340.46 m →
115 910 m²		 N 56.127184°
W 11.151123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469017028808594 y=0.310752868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469017028808594 × 216)
    floor (0.469017028808594 × 65536)
    floor (30737.5)     		tx = 30737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310752868652344 × 216)
    floor (0.310752868652344 × 65536)
    floor (20365.5)     		ty = 20365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30737 / 20365 ti = "16/30737/20365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30737/20365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30737 ÷ 216
    30737 ÷ 65536     		x = 0.469009399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20365 ÷ 216
    20365 ÷ 65536     		y = 0.310745239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469009399414062 × 2 - 1) × π
    -0.061981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19471969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310745239257812 × 2 - 1) × π
    0.378509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18912273197511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19471969} λ = -0.19471969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18912273197511))-π/2
    2×atan(3.28419882064239)-π/2
    2×1.2752269617141-π/2
    2.5504539234282-1.57079632675     		φ = 0.97965760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19471969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.156616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97965760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.130246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30737 KachelY 20365 -0.19471969 0.97965760 -11.156616 56.130246
    Oben rechts KachelX + 1 30738 KachelY 20365 -0.19462381 0.97965760 -11.151123 56.130246
    Unten links KachelX 30737 KachelY + 1 20366 -0.19471969 0.97960416 -11.156616 56.127184
    Unten rechts KachelX + 1 30738 KachelY + 1 20366 -0.19462381 0.97960416 -11.151123 56.127184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97965760-0.97960416) × R
    5.34400000000712e-05 × 6371000     		dl = 340.466240000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97965760-0.97960416) × R
    5.34400000000712e-05 × 6371000     		dr = 340.466240000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19471969--0.19462381) × cos(0.97965760) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.55730687640828 × 6371000     		do = 340.431730268149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19471969--0.19462381) × cos(0.97960416) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.55735124719703 × 6371000     		du = 340.458834230126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97965760)-sin(0.97960416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55730687640828-0.55735124719703)×R²
    abs(-0.19462381--0.19471969)×4.43707887504141e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.43707887504141e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.43707887504141e-05×40589641000000     		ar = 115910.125200534m²