Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30736 / 20462
↖ ↑ ↗
← N 55.832144°
W 11.162109°		 ← 343.03 m → N 55.832144°
W 11.156616°		 →
↑
343.08 m
↓
↑
343.08 m
↓
N 55.829059°
W 11.162109°		 ← 343.06 m →
117 691 m²		 N 55.829059°
W 11.156616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469001770019531 y=0.312232971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469001770019531 × 216)
    floor (0.469001770019531 × 65536)
    floor (30736.5)     		tx = 30736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312232971191406 × 216)
    floor (0.312232971191406 × 65536)
    floor (20462.5)     		ty = 20462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30736 / 20462 ti = "16/30736/20462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30736/20462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30736 ÷ 216
    30736 ÷ 65536     		x = 0.468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20462 ÷ 216
    20462 ÷ 65536     		y = 0.312225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312225341796875 × 2 - 1) × π
    0.37554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17982297344882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19481556} λ = -0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17982297344882))-π/2
    2×atan(3.25379814323872)-π/2
    2×1.27262553294549-π/2
    2.54525106589099-1.57079632675     		φ = 0.97445474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97445474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.832144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30736 KachelY 20462 -0.19481556 0.97445474 -11.162109 55.832144
    Oben rechts KachelX + 1 30737 KachelY 20462 -0.19471969 0.97445474 -11.156616 55.832144
    Unten links KachelX 30736 KachelY + 1 20463 -0.19481556 0.97440089 -11.162109 55.829059
    Unten rechts KachelX + 1 30737 KachelY + 1 20463 -0.19471969 0.97440089 -11.156616 55.829059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97445474-0.97440089) × R
    5.38500000000219e-05 × 6371000     		dl = 343.07835000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97445474-0.97440089) × R
    5.38500000000219e-05 × 6371000     		dr = 343.07835000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19481556--0.19471969) × cos(0.97445474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561619282838515 × 6371000     		do = 343.030189353929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19481556--0.19471969) × cos(0.97440089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561663837287091 × 6371000     		du = 343.057402666218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97445474)-sin(0.97440089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561619282838515-0.561663837287091)×R²
    abs(-0.19471969--0.19481556)×4.45544485759841e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45544485759841e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45544485759841e-05×40589641000000     		ar = 117690.899541734m²