Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30735 / 20465
↖ ↑ ↗
← N 55.822888°
W 11.167602°		 ← 343.11 m → N 55.822888°
W 11.162109°		 →
↑
343.14 m
↓
↑
343.14 m
↓
N 55.819802°
W 11.167602°		 ← 343.14 m →
117 741 m²		 N 55.819802°
W 11.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468986511230469 y=0.312278747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468986511230469 × 216)
    floor (0.468986511230469 × 65536)
    floor (30735.5)     		tx = 30735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312278747558594 × 216)
    floor (0.312278747558594 × 65536)
    floor (20465.5)     		ty = 20465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30735 / 20465 ti = "16/30735/20465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30735/20465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30735 ÷ 216
    30735 ÷ 65536     		x = 0.468978881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20465 ÷ 216
    20465 ÷ 65536     		y = 0.312271118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.062042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19491143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312271118164062 × 2 - 1) × π
    0.375457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1795353520511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19491143} λ = -0.19491143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1795353520511))-π/2
    2×atan(3.25286241584292)-π/2
    2×1.2725447564731-π/2
    2.5450895129462-1.57079632675     		φ = 0.97429319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19491143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.167602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97429319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.822888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30735 KachelY 20465 -0.19491143 0.97429319 -11.167602 55.822888
    Oben rechts KachelX + 1 30736 KachelY 20465 -0.19481556 0.97429319 -11.162109 55.822888
    Unten links KachelX 30735 KachelY + 1 20466 -0.19491143 0.97423933 -11.167602 55.819802
    Unten rechts KachelX + 1 30736 KachelY + 1 20466 -0.19481556 0.97423933 -11.162109 55.819802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97429319-0.97423933) × R
    5.38600000000722e-05 × 6371000     		dl = 343.14206000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97429319-0.97423933) × R
    5.38600000000722e-05 × 6371000     		dr = 343.14206000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19491143--0.19481556) × cos(0.97429319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561752941297938 × 6371000     		do = 343.111826306301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19491143--0.19481556) × cos(0.97423933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561797499132698 × 6371000     		du = 343.13904168683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97429319)-sin(0.97423933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561752941297938-0.561797499132698)×R²
    abs(-0.19481556--0.19491143)×4.4557834759984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4557834759984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4557834759984e-05×40589641000000     		ar = 117740.76828896m²