Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30735 / 20461
↖ ↑ ↗
← N 55.835229°
W 11.167602°		 ← 343 m → N 55.835229°
W 11.162109°		 →
↑
343.01 m
↓
↑
343.01 m
↓
N 55.832144°
W 11.167602°		 ← 343.03 m →
117 660 m²		 N 55.832144°
W 11.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468986511230469 y=0.312217712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468986511230469 × 216)
    floor (0.468986511230469 × 65536)
    floor (30735.5)     		tx = 30735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312217712402344 × 216)
    floor (0.312217712402344 × 65536)
    floor (20461.5)     		ty = 20461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30735 / 20461 ti = "16/30735/20461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30735/20461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30735 ÷ 216
    30735 ÷ 65536     		x = 0.468978881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20461 ÷ 216
    20461 ÷ 65536     		y = 0.312210083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.062042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19491143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312210083007812 × 2 - 1) × π
    0.375579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17991884724806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19491143} λ = -0.19491143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17991884724806))-π/2
    2×atan(3.25411011218326)-π/2
    2×1.27265245416492-π/2
    2.54530490832984-1.57079632675     		φ = 0.97450858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19491143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.167602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97450858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.835229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30735 KachelY 20461 -0.19491143 0.97450858 -11.167602 55.835229
    Oben rechts KachelX + 1 30736 KachelY 20461 -0.19481556 0.97450858 -11.162109 55.835229
    Unten links KachelX 30735 KachelY + 1 20462 -0.19491143 0.97445474 -11.167602 55.832144
    Unten rechts KachelX + 1 30736 KachelY + 1 20462 -0.19481556 0.97445474 -11.162109 55.832144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97450858-0.97445474) × R
    5.38399999999717e-05 × 6371000     		dl = 343.01463999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97450858-0.97445474) × R
    5.38399999999717e-05 × 6371000     		dr = 343.01463999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19491143--0.19481556) × cos(0.97450858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561574735035603 × 6371000     		do = 343.00298010073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19491143--0.19481556) × cos(0.97445474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561619282838515 × 6371000     		du = 343.030189353929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97450858)-sin(0.97445474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561574735035603-0.561619282838515)×R²
    abs(-0.19481556--0.19491143)×4.4547802911965e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4547802911965e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4547802911965e-05×40589641000000     		ar = 117659.710352388m²