Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30734 / 17321
↖ ↑ ↗
← N 64.375565°
W 11.173096°		 ← 264.18 m → N 64.375565°
W 11.167602°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
N 64.373190°
W 11.173096°		 ← 264.20 m →
69 783 m²		 N 64.373190°
W 11.167602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468971252441406 y=0.264305114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468971252441406 × 216)
    floor (0.468971252441406 × 65536)
    floor (30734.5)     		tx = 30734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264305114746094 × 216)
    floor (0.264305114746094 × 65536)
    floor (17321.5)     		ty = 17321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30734 / 17321 ti = "16/30734/17321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30734/17321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30734 ÷ 216
    30734 ÷ 65536     		x = 0.468963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17321 ÷ 216
    17321 ÷ 65536     		y = 0.264297485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.06207275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19500731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264297485351562 × 2 - 1) × π
    0.471405029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48096257686201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19500731} λ = -0.19500731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48096257686201))-π/2
    2×atan(4.39717626459162)-π/2
    2×1.3471809506252-π/2
    2.6943619012504-1.57079632675     		φ = 1.12356557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19500731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.173096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12356557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.375565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30734 KachelY 17321 -0.19500731 1.12356557 -11.173096 64.375565
    Oben rechts KachelX + 1 30735 KachelY 17321 -0.19491143 1.12356557 -11.167602 64.375565
    Unten links KachelX 30734 KachelY + 1 17322 -0.19500731 1.12352411 -11.173096 64.373190
    Unten rechts KachelX + 1 30735 KachelY + 1 17322 -0.19491143 1.12352411 -11.167602 64.373190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12356557-1.12352411) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dl = 264.14166000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12356557-1.12352411) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dr = 264.14166000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19500731--0.19491143) × cos(1.12356557) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.43247031246779 × 6371000     		do = 264.175130426991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19500731--0.19491143) × cos(1.12352411) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.43250769442936 × 6371000     		du = 264.197965253542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12356557)-sin(1.12352411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43247031246779-0.43250769442936)×R²
    abs(-0.19491143--0.19500731)×3.73819615705484e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.73819615705484e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.73819615705484e-05×40589641000000     		ar = 69782.6733061507m²