Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30730 / 20330
↖ ↑ ↗
← N 56.237245°
W 11.195068°		 ← 339.45 m → N 56.237245°
W 11.189575°		 →
↑
339.45 m
↓
↑
339.45 m
↓
N 56.234192°
W 11.195068°		 ← 339.48 m →
115 229 m²		 N 56.234192°
W 11.189575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468910217285156 y=0.310218811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468910217285156 × 216)
    floor (0.468910217285156 × 65536)
    floor (30730.5)     		tx = 30730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310218811035156 × 216)
    floor (0.310218811035156 × 65536)
    floor (20330.5)     		ty = 20330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30730 / 20330 ti = "16/30730/20330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30730/20330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30730 ÷ 216
    30730 ÷ 65536     		x = 0.468902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20330 ÷ 216
    20330 ÷ 65536     		y = 0.310211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.06219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19539080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310211181640625 × 2 - 1) × π
    0.37957763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19247831494852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19539080} λ = -0.19539080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19247831494852))-π/2
    2×atan(3.29523773292114)-π/2
    2×1.27616070452392-π/2
    2.55232140904785-1.57079632675     		φ = 0.98152508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19539080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.195068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98152508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.237245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30730 KachelY 20330 -0.19539080 0.98152508 -11.195068 56.237245
    Oben rechts KachelX + 1 30731 KachelY 20330 -0.19529493 0.98152508 -11.189575 56.237245
    Unten links KachelX 30730 KachelY + 1 20331 -0.19539080 0.98147180 -11.195068 56.234192
    Unten rechts KachelX + 1 30731 KachelY + 1 20331 -0.19529493 0.98147180 -11.189575 56.234192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98152508-0.98147180) × R
    5.32800000000444e-05 × 6371000     		dl = 339.446880000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98152508-0.98147180) × R
    5.32800000000444e-05 × 6371000     		dr = 339.446880000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19539080--0.19529493) × cos(0.98152508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555755324546795 × 6371000     		do = 339.448555345556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19539080--0.19529493) × cos(0.98147180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555799617867941 × 6371000     		du = 339.475609164404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98152508)-sin(0.98147180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555755324546795-0.555799617867941)×R²
    abs(-0.19529493--0.19539080)×4.42933211454166e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42933211454166e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42933211454166e-05×40589641000000     		ar = 115229.344727288m²