Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3073 / 5018
↖ ↑ ↗
← S 37.509726°
W 44.956055°		 ← 3 876.21 m → S 37.509726°
W 44.912109°		 →
↑
3 875.29 m
↓
↑
3 875.29 m
↓
S 37.544577°
W 44.956055°		 ← 3 874.40 m →
15 017 926 m²		 S 37.544577°
W 44.912109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37518310546875 y=0.61260986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37518310546875 × 213)
    floor (0.37518310546875 × 8192)
    floor (3073.5)     		tx = 3073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61260986328125 × 213)
    floor (0.61260986328125 × 8192)
    floor (5018.5)     		ty = 5018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3073 / 5018 ti = "13/3073/5018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3073/5018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3073 ÷ 213
    3073 ÷ 8192     		x = 0.3751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5018 ÷ 213
    5018 ÷ 8192     		y = 0.612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.22509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.707165143195068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78463117} λ = -0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707165143195068))-π/2
    2×atan(0.493039915755781)-π/2
    2×0.458064054665633-π/2
    0.916128109331265-1.57079632675     		φ = -0.65466822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65466822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.509726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3073 KachelY 5018 -0.78463117 -0.65466822 -44.956055 -37.509726
    Oben rechts KachelX + 1 3074 KachelY 5018 -0.78386418 -0.65466822 -44.912109 -37.509726
    Unten links KachelX 3073 KachelY + 1 5019 -0.78463117 -0.65527649 -44.956055 -37.544577
    Unten rechts KachelX + 1 3074 KachelY + 1 5019 -0.78386418 -0.65527649 -44.912109 -37.544577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65466822--0.65527649) × R
    0.000608269999999966 × 6371000     		dl = 3875.28816999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65466822--0.65527649) × R
    0.000608269999999966 × 6371000     		dr = 3875.28816999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78463117--0.78386418) × cos(-0.65466822) × R
    0.000766990000000023 × 0.793249991303151 × 6371000     		do = 3876.21075979552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78463117--0.78386418) × cos(-0.65527649) × R
    0.000766990000000023 × 0.792879471351661 × 6371000     		du = 3874.40021653875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65466822)-sin(-0.65527649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793249991303151-0.792879471351661)×R²
    abs(-0.78386418--0.78463117)×0.0003705199514904×R²
    0.000766990000000023×0.0003705199514904×6371000²
    0.000766990000000023×0.0003705199514904×40589641000000     		ar = 15017925.9764701m²