Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30729 / 43015
↖ ↑ ↗
← S 48.947759°
W 11.200562°		 ← 401.17 m → S 48.947759°
W 11.195068°		 →
↑
401.12 m
↓
↑
401.12 m
↓
S 48.951367°
W 11.200562°		 ← 401.15 m →
160 913 m²		 S 48.951367°
W 11.195068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468894958496094 y=0.656364440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468894958496094 × 216)
    floor (0.468894958496094 × 65536)
    floor (30729.5)     		tx = 30729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656364440917969 × 216)
    floor (0.656364440917969 × 65536)
    floor (43015.5)     		ty = 43015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30729 / 43015 ti = "16/30729/43015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30729/43015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30729 ÷ 216
    30729 ÷ 65536     		x = 0.468887329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43015 ÷ 216
    43015 ÷ 65536     		y = 0.656356811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468887329101562 × 2 - 1) × π
    -0.062225341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19548668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656356811523438 × 2 - 1) × π
    -0.312713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.982418820813431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19548668} λ = -0.19548668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982418820813431))-π/2
    2×atan(0.374404385584522)-π/2
    2×0.358248385543833-π/2
    0.716496771087665-1.57079632675     		φ = -0.85429956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19548668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.200562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85429956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.947759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30729 KachelY 43015 -0.19548668 -0.85429956 -11.200562 -48.947759
    Oben rechts KachelX + 1 30730 KachelY 43015 -0.19539080 -0.85429956 -11.195068 -48.947759
    Unten links KachelX 30729 KachelY + 1 43016 -0.19548668 -0.85436252 -11.200562 -48.951367
    Unten rechts KachelX + 1 30730 KachelY + 1 43016 -0.19539080 -0.85436252 -11.195068 -48.951367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85429956--0.85436252) × R
    6.29600000000563e-05 × 6371000     		dl = 401.118160000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85429956--0.85436252) × R
    6.29600000000563e-05 × 6371000     		dr = 401.118160000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19548668--0.19539080) × cos(-0.85429956) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.656746880372372 × 6371000     		do = 401.174803860816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19548668--0.19539080) × cos(-0.85436252) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.656699400236557 × 6371000     		du = 401.145800549582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85429956)-sin(-0.85436252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656746880372372-0.656699400236557)×R²
    abs(-0.19539080--0.19548668)×4.74801358155696e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74801358155696e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74801358155696e-05×40589641000000     		ar = 160912.682338798m²