Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30726 / 42989
↖ ↑ ↗
← S 48.853873°
W 11.217041°		 ← 401.93 m → S 48.853873°
W 11.211548°		 →
↑
401.88 m
↓
↑
401.88 m
↓
S 48.857487°
W 11.217041°		 ← 401.90 m →
161 523 m²		 S 48.857487°
W 11.211548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468849182128906 y=0.655967712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468849182128906 × 216)
    floor (0.468849182128906 × 65536)
    floor (30726.5)     		tx = 30726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655967712402344 × 216)
    floor (0.655967712402344 × 65536)
    floor (42989.5)     		ty = 42989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30726 / 42989 ti = "16/30726/42989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30726/42989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30726 ÷ 216
    30726 ÷ 65536     		x = 0.468841552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42989 ÷ 216
    42989 ÷ 65536     		y = 0.655960083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.06231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19577430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655960083007812 × 2 - 1) × π
    -0.311920166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.979926102033188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19577430} λ = -0.19577430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979926102033188))-π/2
    2×atan(0.375338834603322)-π/2
    2×0.359067697647821-π/2
    0.718135395295643-1.57079632675     		φ = -0.85266093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19577430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.217041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85266093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.853873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30726 KachelY 42989 -0.19577430 -0.85266093 -11.217041 -48.853873
    Oben rechts KachelX + 1 30727 KachelY 42989 -0.19567842 -0.85266093 -11.211548 -48.853873
    Unten links KachelX 30726 KachelY + 1 42990 -0.19577430 -0.85272401 -11.217041 -48.857487
    Unten rechts KachelX + 1 30727 KachelY + 1 42990 -0.19567842 -0.85272401 -11.211548 -48.857487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85266093--0.85272401) × R
    6.30799999999931e-05 × 6371000     		dl = 401.882679999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85266093--0.85272401) × R
    6.30799999999931e-05 × 6371000     		dr = 401.882679999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19577430--0.19567842) × cos(-0.85266093) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.657981707155711 × 6371000     		do = 401.929099629078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19577430--0.19567842) × cos(-0.85272401) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.657934204467473 × 6371000     		du = 401.900082541664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85266093)-sin(-0.85272401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657981707155711-0.657934204467473)×R²
    abs(-0.19567842--0.19577430)×4.75026882382767e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.75026882382767e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.75026882382767e-05×40589641000000     		ar = 161522.513049778m²