Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30723 / 30745
↖ ↑ ↗
← N 68.631550°
W 95.616760°		 ← 111.29 m → N 68.631550°
W 95.614014°		 →
↑
111.30 m
↓
↑
111.30 m
↓
N 68.630549°
W 95.616760°		 ← 111.29 m →
12 387 m²		 N 68.630549°
W 95.614014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234401702880859 y=0.234569549560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234401702880859 × 217)
    floor (0.234401702880859 × 131072)
    floor (30723.5)     		tx = 30723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234569549560547 × 217)
    floor (0.234569549560547 × 131072)
    floor (30745.5)     		ty = 30745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30723 / 30745 ti = "17/30723/30745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30723/30745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30723 ÷ 217
    30723 ÷ 131072     		x = 0.234397888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30745 ÷ 217
    30745 ÷ 131072     		y = 0.234565734863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234397888183594 × 2 - 1) × π
    -0.531204223632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.66882729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234565734863281 × 2 - 1) × π
    0.530868530273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.66777267468137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66882729} λ = -1.66882729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66777267468137))-π/2
    2×atan(5.30034903834616)-π/2
    2×1.38432142293281-π/2
    2.76864284586563-1.57079632675     		φ = 1.19784652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66882729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.616760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19784652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.631550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30723 KachelY 30745 -1.66882729 1.19784652 -95.616760 68.631550
    Oben rechts KachelX + 1 30724 KachelY 30745 -1.66877935 1.19784652 -95.614014 68.631550
    Unten links KachelX 30723 KachelY + 1 30746 -1.66882729 1.19782905 -95.616760 68.630549
    Unten rechts KachelX + 1 30724 KachelY + 1 30746 -1.66877935 1.19782905 -95.614014 68.630549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19784652-1.19782905) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dl = 111.30136999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19784652-1.19782905) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dr = 111.30136999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66882729--1.66877935) × cos(1.19784652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364364040243798 × 6371000     		do = 111.286156620779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66882729--1.66877935) × cos(1.19782905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364380309240914 × 6371000     		du = 111.291125591262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19784652)-sin(1.19782905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364364040243798-0.364380309240914)×R²
    abs(-1.66877935--1.66882729)×1.62689971158203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62689971158203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62689971158203e-05×40589641000000     		ar = 12386.5782208924m²