Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30722 / 30739
↖ ↑ ↗
← N 68.637554°
W 95.619507°		 ← 111.23 m → N 68.637554°
W 95.616760°		 →
↑
111.24 m
↓
↑
111.24 m
↓
N 68.636553°
W 95.619507°		 ← 111.24 m →
12 374 m²		 N 68.636553°
W 95.616760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234394073486328 y=0.234523773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234394073486328 × 217)
    floor (0.234394073486328 × 131072)
    floor (30722.5)     		tx = 30722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234523773193359 × 217)
    floor (0.234523773193359 × 131072)
    floor (30739.5)     		ty = 30739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30722 / 30739 ti = "17/30722/30739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30722/30739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30722 ÷ 217
    30722 ÷ 131072     		x = 0.234390258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30739 ÷ 217
    30739 ÷ 131072     		y = 0.234519958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234390258789062 × 2 - 1) × π
    -0.531219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.66887522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234519958496094 × 2 - 1) × π
    0.530960083007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.66806029607909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66887522} λ = -1.66887522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66806029607909))-π/2
    2×atan(5.30187375140451)-π/2
    2×1.38437381536316-π/2
    2.76874763072632-1.57079632675     		φ = 1.19795130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66887522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.619507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19795130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.637554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30722 KachelY 30739 -1.66887522 1.19795130 -95.619507 68.637554
    Oben rechts KachelX + 1 30723 KachelY 30739 -1.66882729 1.19795130 -95.616760 68.637554
    Unten links KachelX 30722 KachelY + 1 30740 -1.66887522 1.19793384 -95.619507 68.636553
    Unten rechts KachelX + 1 30723 KachelY + 1 30740 -1.66882729 1.19793384 -95.616760 68.636553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19795130-1.19793384) × R
    1.74600000000247e-05 × 6371000     		dl = 111.237660000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19795130-1.19793384) × R
    1.74600000000247e-05 × 6371000     		dr = 111.237660000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66887522--1.66882729) × cos(1.19795130) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364266461177779 × 6371000     		do = 111.233146046231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66887522--1.66882729) × cos(1.19793384) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364282721528907 × 6371000     		du = 111.23811134006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19795130)-sin(1.19793384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364266461177779-0.364282721528907)×R²
    abs(-1.66882729--1.66887522)×1.62603511282278e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62603511282278e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62603511282278e-05×40589641000000     		ar = 12373.5910447415m²