Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30721 / 30716
↖ ↑ ↗
← N 68.660553°
W 95.622253°		 ← 111.14 m → N 68.660553°
W 95.619507°		 →
↑
111.11 m
↓
↑
111.11 m
↓
N 68.659554°
W 95.622253°		 ← 111.15 m →
12 349 m²		 N 68.659554°
W 95.619507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234386444091797 y=0.234348297119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234386444091797 × 217)
    floor (0.234386444091797 × 131072)
    floor (30721.5)     		tx = 30721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234348297119141 × 217)
    floor (0.234348297119141 × 131072)
    floor (30716.5)     		ty = 30716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30721 / 30716 ti = "17/30721/30716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30721/30716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30721 ÷ 217
    30721 ÷ 131072     		x = 0.234382629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30716 ÷ 217
    30716 ÷ 131072     		y = 0.234344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234382629394531 × 2 - 1) × π
    -0.531234741210938 × 3.1415926535     		Λ = -1.66892316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234344482421875 × 2 - 1) × π
    0.53131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.66916284477036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66892316} λ = -1.66892316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66916284477036))-π/2
    2×atan(5.30772254906997)-π/2
    2×1.38457452305002-π/2
    2.76914904610005-1.57079632675     		φ = 1.19835272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66892316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.622253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19835272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.660553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30721 KachelY 30716 -1.66892316 1.19835272 -95.622253 68.660553
    Oben rechts KachelX + 1 30722 KachelY 30716 -1.66887522 1.19835272 -95.619507 68.660553
    Unten links KachelX 30721 KachelY + 1 30717 -1.66892316 1.19833528 -95.622253 68.659554
    Unten rechts KachelX + 1 30722 KachelY + 1 30717 -1.66887522 1.19833528 -95.619507 68.659554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19835272-1.19833528) × R
    1.74399999999242e-05 × 6371000     		dl = 111.110239999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19835272-1.19833528) × R
    1.74399999999242e-05 × 6371000     		dr = 111.110239999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66892316--1.66887522) × cos(1.19835272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363892591493384 × 6371000     		do = 111.142164037312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66892316--1.66887522) × cos(1.19833528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363908835767636 × 6371000     		du = 111.147125456796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19835272)-sin(1.19833528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363892591493384-0.363908835767636)×R²
    abs(-1.66887522--1.66892316)×1.62442742518976e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62442742518976e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62442742518976e-05×40589641000000     		ar = 12349.3081528794m²