Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30710 / 38237
↖ ↑ ↗
← S 28.753213°
W 11.304932°		 ← 535.48 m → S 28.753213°
W 11.299439°		 →
↑
535.48 m
↓
↑
535.48 m
↓
S 28.758028°
W 11.304932°		 ← 535.45 m →
286 732 m²		 S 28.758028°
W 11.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468605041503906 y=0.583457946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468605041503906 × 216)
    floor (0.468605041503906 × 65536)
    floor (30710.5)     		tx = 30710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583457946777344 × 216)
    floor (0.583457946777344 × 65536)
    floor (38237.5)     		ty = 38237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30710 / 38237 ti = "16/30710/38237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30710/38237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30710 ÷ 216
    30710 ÷ 65536     		x = 0.468597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38237 ÷ 216
    38237 ÷ 65536     		y = 0.583450317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.06280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19730828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583450317382812 × 2 - 1) × π
    -0.166900634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.524333808044174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19730828} λ = -0.19730828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524333808044174))-π/2
    2×atan(0.591949585090739)-π/2
    2×0.534479048747195-π/2
    1.06895809749439-1.57079632675     		φ = -0.50183823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19730828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.304932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50183823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.753213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30710 KachelY 38237 -0.19730828 -0.50183823 -11.304932 -28.753213
    Oben rechts KachelX + 1 30711 KachelY 38237 -0.19721241 -0.50183823 -11.299439 -28.753213
    Unten links KachelX 30710 KachelY + 1 38238 -0.19730828 -0.50192228 -11.304932 -28.758028
    Unten rechts KachelX + 1 30711 KachelY + 1 38238 -0.19721241 -0.50192228 -11.299439 -28.758028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50183823--0.50192228) × R
    8.40500000000022e-05 × 6371000     		dl = 535.482550000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50183823--0.50192228) × R
    8.40500000000022e-05 × 6371000     		dr = 535.482550000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19730828--0.19721241) × cos(-0.50183823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.876699785264266 × 6371000     		do = 535.477506801028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19730828--0.19721241) × cos(-0.50192228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87665935092993 × 6371000     		du = 535.452810004128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50183823)-sin(-0.50192228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876699785264266-0.87665935092993)×R²
    abs(-0.19721241--0.19730828)×4.04343343360924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04343343360924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04343343360924e-05×40589641000000     		ar = 286732.248626431m²