Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30710 / 20254
↖ ↑ ↗
← N 56.468560°
W 11.304932°		 ← 337.40 m → N 56.468560°
W 11.299439°		 →
↑
337.41 m
↓
↑
337.41 m
↓
N 56.465525°
W 11.304932°		 ← 337.42 m →
113 845 m²		 N 56.465525°
W 11.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468605041503906 y=0.309059143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468605041503906 × 216)
    floor (0.468605041503906 × 65536)
    floor (30710.5)     		tx = 30710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309059143066406 × 216)
    floor (0.309059143066406 × 65536)
    floor (20254.5)     		ty = 20254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30710 / 20254 ti = "16/30710/20254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30710/20254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30710 ÷ 216
    30710 ÷ 65536     		x = 0.468597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20254 ÷ 216
    20254 ÷ 65536     		y = 0.309051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.06280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19730828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309051513671875 × 2 - 1) × π
    0.38189697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19976472369077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19730828} λ = -0.19730828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19976472369077))-π/2
    2×atan(3.31933586976597)-π/2
    2×1.27817930918851-π/2
    2.55635861837702-1.57079632675     		φ = 0.98556229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19730828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.304932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98556229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.468560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30710 KachelY 20254 -0.19730828 0.98556229 -11.304932 56.468560
    Oben rechts KachelX + 1 30711 KachelY 20254 -0.19721241 0.98556229 -11.299439 56.468560
    Unten links KachelX 30710 KachelY + 1 20255 -0.19730828 0.98550933 -11.304932 56.465525
    Unten rechts KachelX + 1 30711 KachelY + 1 20255 -0.19721241 0.98550933 -11.299439 56.465525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98556229-0.98550933) × R
    5.29599999999908e-05 × 6371000     		dl = 337.408159999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98556229-0.98550933) × R
    5.29599999999908e-05 × 6371000     		dr = 337.408159999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19730828--0.19721241) × cos(0.98556229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552394486510025 × 6371000     		do = 337.395796575746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19730828--0.19721241) × cos(0.98550933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552438632281912 × 6371000     		du = 337.422760273311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98556229)-sin(0.98550933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552394486510025-0.552438632281912)×R²
    abs(-0.19721241--0.19730828)×4.41457718871607e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41457718871607e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41457718871607e-05×40589641000000     		ar = 113844.643826801m²