Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3071 / 5070
↖ ↑ ↗
← S 39.300299°
W 45.043945°		 ← 3 781.35 m → S 39.300299°
W 45.000000°		 →
↑
3 780.42 m
↓
↑
3 780.42 m
↓
S 39.334297°
W 45.043945°		 ← 3 779.51 m →
14 291 630 m²		 S 39.334297°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37493896484375 y=0.61895751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37493896484375 × 213)
    floor (0.37493896484375 × 8192)
    floor (3071.5)     		tx = 3071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61895751953125 × 213)
    floor (0.61895751953125 × 8192)
    floor (5070.5)     		ty = 5070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3071 / 5070 ti = "13/3071/5070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3071/5070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3071 ÷ 213
    3071 ÷ 8192     		x = 0.3748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5070 ÷ 213
    5070 ÷ 8192     		y = 0.618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.23779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.747048643678955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78616515} λ = -0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747048643678955))-π/2
    2×atan(0.473762734053114)-π/2
    2×0.442438354497125-π/2
    0.884876708994249-1.57079632675     		φ = -0.68591962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68591962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.300299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3071 KachelY 5070 -0.78616515 -0.68591962 -45.043945 -39.300299
    Oben rechts KachelX + 1 3072 KachelY 5070 -0.78539816 -0.68591962 -45.000000 -39.300299
    Unten links KachelX 3071 KachelY + 1 5071 -0.78616515 -0.68651300 -45.043945 -39.334297
    Unten rechts KachelX + 1 3072 KachelY + 1 5071 -0.78539816 -0.68651300 -45.000000 -39.334297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68591962--0.68651300) × R
    0.000593380000000088 × 6371000     		dl = 3780.42398000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68591962--0.68651300) × R
    0.000593380000000088 × 6371000     		dr = 3780.42398000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78616515--0.78539816) × cos(-0.68591962) × R
    0.000766990000000023 × 0.773836900955659 × 6371000     		do = 3781.34882407433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78616515--0.78539816) × cos(-0.68651300) × R
    0.000766990000000023 × 0.773460926802857 × 6371000     		du = 3779.51162889946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68591962)-sin(-0.68651300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773836900955659-0.773460926802857)×R²
    abs(-0.78539816--0.78616515)×0.000375974152801439×R²
    0.000766990000000023×0.000375974152801439×6371000²
    0.000766990000000023×0.000375974152801439×40589641000000     		ar = 14291629.5022713m²