Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3071 / 5010
↖ ↑ ↗
← S 37.230328°
W 45.043945°		 ← 3 890.67 m → S 37.230328°
W 45.000000°		 →
↑
3 889.81 m
↓
↑
3 889.81 m
↓
S 37.265310°
W 45.043945°		 ← 3 888.87 m →
15 130 486 m²		 S 37.265310°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37493896484375 y=0.61163330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37493896484375 × 213)
    floor (0.37493896484375 × 8192)
    floor (3071.5)     		tx = 3071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61163330078125 × 213)
    floor (0.61163330078125 × 8192)
    floor (5010.5)     		ty = 5010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3071 / 5010 ti = "13/3071/5010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3071/5010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3071 ÷ 213
    3071 ÷ 8192     		x = 0.3748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5010 ÷ 213
    5010 ÷ 8192     		y = 0.611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.22314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.701029220043701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78616515} λ = -0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.701029220043701))-π/2
    2×atan(0.496074471168021)-π/2
    2×0.460502257424226-π/2
    0.921004514848451-1.57079632675     		φ = -0.64979181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64979181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.230328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3071 KachelY 5010 -0.78616515 -0.64979181 -45.043945 -37.230328
    Oben rechts KachelX + 1 3072 KachelY 5010 -0.78539816 -0.64979181 -45.000000 -37.230328
    Unten links KachelX 3071 KachelY + 1 5011 -0.78616515 -0.65040236 -45.043945 -37.265310
    Unten rechts KachelX + 1 3072 KachelY + 1 5011 -0.78539816 -0.65040236 -45.000000 -37.265310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64979181--0.65040236) × R
    0.000610549999999987 × 6371000     		dl = 3889.81404999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64979181--0.65040236) × R
    0.000610549999999987 × 6371000     		dr = 3889.81404999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78616515--0.78539816) × cos(-0.64979181) × R
    0.000766990000000023 × 0.796209775053596 × 6371000     		do = 3890.67372323192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78616515--0.78539816) × cos(-0.65040236) × R
    0.000766990000000023 × 0.795840231312991 × 6371000     		du = 3888.8679502231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64979181)-sin(-0.65040236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796209775053596-0.795840231312991)×R²
    abs(-0.78539816--0.78616515)×0.000369543740604494×R²
    0.000766990000000023×0.000369543740604494×6371000²
    0.000766990000000023×0.000369543740604494×40589641000000     		ar = 15130485.7220008m²