Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30707 / 17039
↖ ↑ ↗
← N 65.037379°
W 11.321411°		 ← 257.77 m → N 65.037379°
W 11.315918°		 →
↑
257.83 m
↓
↑
257.83 m
↓
N 65.035060°
W 11.321411°		 ← 257.79 m →
66 465 m²		 N 65.035060°
W 11.315918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468559265136719 y=0.260002136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468559265136719 × 216)
    floor (0.468559265136719 × 65536)
    floor (30707.5)     		tx = 30707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260002136230469 × 216)
    floor (0.260002136230469 × 65536)
    floor (17039.5)     		ty = 17039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30707 / 17039 ti = "16/30707/17039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30707/17039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30707 ÷ 216
    30707 ÷ 65536     		x = 0.468551635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17039 ÷ 216
    17039 ÷ 65536     		y = 0.259994506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468551635742188 × 2 - 1) × π
    -0.062896728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19759590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259994506835938 × 2 - 1) × π
    0.480010986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50799898824773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19759590} λ = -0.19759590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50799898824773))-π/2
    2×atan(4.51768180937743)-π/2
    2×1.35295636185527-π/2
    2.70591272371054-1.57079632675     		φ = 1.13511640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19759590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.321411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13511640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.037379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30707 KachelY 17039 -0.19759590 1.13511640 -11.321411 65.037379
    Oben rechts KachelX + 1 30708 KachelY 17039 -0.19750003 1.13511640 -11.315918 65.037379
    Unten links KachelX 30707 KachelY + 1 17040 -0.19759590 1.13507593 -11.321411 65.035060
    Unten rechts KachelX + 1 30708 KachelY + 1 17040 -0.19750003 1.13507593 -11.315918 65.035060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13511640-1.13507593) × R
    4.04700000000702e-05 × 6371000     		dl = 257.834370000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13511640-1.13507593) × R
    4.04700000000702e-05 × 6371000     		dr = 257.834370000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19759590--0.19750003) × cos(1.13511640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422026909151282 × 6371000     		do = 257.768874720499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19759590--0.19750003) × cos(1.13507593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422063598232002 × 6371000     		du = 257.791283962295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13511640)-sin(1.13507593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422026909151282-0.422063598232002)×R²
    abs(-0.19750003--0.19759590)×3.66890807198539e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66890807198539e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66890807198539e-05×40589641000000     		ar = 66464.5643649758m²