Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30700 / 20452
↖ ↑ ↗
← N 55.862982°
W 11.359863°		 ← 342.79 m → N 55.862982°
W 11.354370°		 →
↑
342.76 m
↓
↑
342.76 m
↓
N 55.859900°
W 11.359863°		 ← 342.82 m →
117 501 m²		 N 55.859900°
W 11.354370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468452453613281 y=0.312080383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468452453613281 × 216)
    floor (0.468452453613281 × 65536)
    floor (30700.5)     		tx = 30700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312080383300781 × 216)
    floor (0.312080383300781 × 65536)
    floor (20452.5)     		ty = 20452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30700 / 20452 ti = "16/30700/20452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30700/20452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30700 ÷ 216
    30700 ÷ 65536     		x = 0.46844482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20452 ÷ 216
    20452 ÷ 65536     		y = 0.31207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.0631103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19826702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31207275390625 × 2 - 1) × π
    0.3758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18078171144122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19826702} λ = -0.19826702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18078171144122))-π/2
    2×atan(3.25691917902698)-π/2
    2×1.27289464905165-π/2
    2.5457892981033-1.57079632675     		φ = 0.97499297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19826702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97499297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.862982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30700 KachelY 20452 -0.19826702 0.97499297 -11.359863 55.862982
    Oben rechts KachelX + 1 30701 KachelY 20452 -0.19817114 0.97499297 -11.354370 55.862982
    Unten links KachelX 30700 KachelY + 1 20453 -0.19826702 0.97493917 -11.359863 55.859900
    Unten rechts KachelX + 1 30701 KachelY + 1 20453 -0.19817114 0.97493917 -11.354370 55.859900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97499297-0.97493917) × R
    5.37999999999927e-05 × 6371000     		dl = 342.759799999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97499297-0.97493917) × R
    5.37999999999927e-05 × 6371000     		dr = 342.759799999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19826702--0.19817114) × cos(0.97499297) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.561173872279749 × 6371000     		do = 342.793890419389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19826702--0.19817114) × cos(0.97493917) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.561218401616926 × 6371000     		du = 342.821091230907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97499297)-sin(0.97493917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561173872279749-0.561218401616926)×R²
    abs(-0.19817114--0.19826702)×4.45293371771349e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.45293371771349e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.45293371771349e-05×40589641000000     		ar = 117500.627022302m²