Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30697 / 17083
↖ ↑ ↗
← N 64.935180°
W 11.376343°		 ← 258.78 m → N 64.935180°
W 11.370849°		 →
↑
258.79 m
↓
↑
258.79 m
↓
N 64.932853°
W 11.376343°		 ← 258.81 m →
66 973 m²		 N 64.932853°
W 11.370849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468406677246094 y=0.260673522949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468406677246094 × 216)
    floor (0.468406677246094 × 65536)
    floor (30697.5)     		tx = 30697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260673522949219 × 216)
    floor (0.260673522949219 × 65536)
    floor (17083.5)     		ty = 17083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30697 / 17083 ti = "16/30697/17083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30697/17083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30697 ÷ 216
    30697 ÷ 65536     		x = 0.468399047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17083 ÷ 216
    17083 ÷ 65536     		y = 0.260665893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468399047851562 × 2 - 1) × π
    -0.063201904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19855464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260665893554688 × 2 - 1) × π
    0.478668212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50378054108116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19855464} λ = -0.19855464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50378054108116))-π/2
    2×atan(4.49866434762981)-π/2
    2×1.35206450890888-π/2
    2.70412901781776-1.57079632675     		φ = 1.13333269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19855464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.376343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13333269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.935180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30697 KachelY 17083 -0.19855464 1.13333269 -11.376343 64.935180
    Oben rechts KachelX + 1 30698 KachelY 17083 -0.19845876 1.13333269 -11.370849 64.935180
    Unten links KachelX 30697 KachelY + 1 17084 -0.19855464 1.13329207 -11.376343 64.932853
    Unten rechts KachelX + 1 30698 KachelY + 1 17084 -0.19845876 1.13329207 -11.370849 64.932853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13333269-1.13329207) × R
    4.06200000000467e-05 × 6371000     		dl = 258.790020000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13333269-1.13329207) × R
    4.06200000000467e-05 × 6371000     		dr = 258.790020000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19855464--0.19845876) × cos(1.13333269) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423643318635079 × 6371000     		do = 258.78314818033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19855464--0.19845876) × cos(1.13329207) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423680113063164 × 6371000     		du = 258.805624111181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13333269)-sin(1.13329207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423643318635079-0.423680113063164)×R²
    abs(-0.19845876--0.19855464)×3.6794428084852e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.6794428084852e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.6794428084852e-05×40589641000000     		ar = 66973.4043756557m²