Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30692 / 20300
↖ ↑ ↗
← N 56.328721°
W 11.403809°		 ← 338.67 m → N 56.328721°
W 11.398315°		 →
↑
338.62 m
↓
↑
338.62 m
↓
N 56.325675°
W 11.403809°		 ← 338.70 m →
114 685 m²		 N 56.325675°
W 11.398315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468330383300781 y=0.309761047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468330383300781 × 216)
    floor (0.468330383300781 × 65536)
    floor (30692.5)     		tx = 30692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309761047363281 × 216)
    floor (0.309761047363281 × 65536)
    floor (20300.5)     		ty = 20300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30692 / 20300 ti = "16/30692/20300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30692/20300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30692 ÷ 216
    30692 ÷ 65536     		x = 0.46832275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20300 ÷ 216
    20300 ÷ 65536     		y = 0.30975341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.0633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19903401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30975341796875 × 2 - 1) × π
    0.3804931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19535452892572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19903401} λ = -0.19903401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19535452892572))-π/2
    2×atan(3.30472918492698)-π/2
    2×1.27695898502161-π/2
    2.55391797004321-1.57079632675     		φ = 0.98312164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19903401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.403809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98312164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.328721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30692 KachelY 20300 -0.19903401 0.98312164 -11.403809 56.328721
    Oben rechts KachelX + 1 30693 KachelY 20300 -0.19893813 0.98312164 -11.398315 56.328721
    Unten links KachelX 30692 KachelY + 1 20301 -0.19903401 0.98306849 -11.403809 56.325675
    Unten rechts KachelX + 1 30693 KachelY + 1 20301 -0.19893813 0.98306849 -11.398315 56.325675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98312164-0.98306849) × R
    5.31500000000573e-05 × 6371000     		dl = 338.618650000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98312164-0.98306849) × R
    5.31500000000573e-05 × 6371000     		dr = 338.618650000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19903401--0.19893813) × cos(0.98312164) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.554427323176252 × 6371000     		do = 338.672750914724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19903401--0.19893813) × cos(0.98306849) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.554471555531636 × 6371000     		du = 338.699770314474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98312164)-sin(0.98306849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554427323176252-0.554471555531636)×R²
    abs(-0.19893813--0.19903401)×4.42323553834223e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.42323553834223e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.42323553834223e-05×40589641000000     		ar = 114685.484369919m²