Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30688 / 14560
↖ ↑ ↗
← N 70.199994°
W 11.425781°		 ← 206.90 m → N 70.199994°
W 11.420288°		 →
↑
206.93 m
↓
↑
206.93 m
↓
N 70.198133°
W 11.425781°		 ← 206.92 m →
42 815 m²		 N 70.198133°
W 11.420288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468269348144531 y=0.222175598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468269348144531 × 216)
    floor (0.468269348144531 × 65536)
    floor (30688.5)     		tx = 30688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222175598144531 × 216)
    floor (0.222175598144531 × 65536)
    floor (14560.5)     		ty = 14560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30688 / 14560 ti = "16/30688/14560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30688/14560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30688 ÷ 216
    30688 ÷ 65536     		x = 0.46826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14560 ÷ 216
    14560 ÷ 65536     		y = 0.22216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46826171875 × 2 - 1) × π
    -0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22216796875 × 2 - 1) × π
    0.5556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74567013656396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19941750} λ = -0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74567013656396))-π/2
    2×atan(5.72973989735144)-π/2
    2×1.39800867913665-π/2
    2.79601735827331-1.57079632675     		φ = 1.22522103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22522103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.199994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30688 KachelY 14560 -0.19941750 1.22522103 -11.425781 70.199994
    Oben rechts KachelX + 1 30689 KachelY 14560 -0.19932163 1.22522103 -11.420288 70.199994
    Unten links KachelX 30688 KachelY + 1 14561 -0.19941750 1.22518855 -11.425781 70.198133
    Unten rechts KachelX + 1 30689 KachelY + 1 14561 -0.19932163 1.22518855 -11.420288 70.198133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22522103-1.22518855) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dl = 206.930080000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22522103-1.22518855) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dr = 206.930080000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19941750--0.19932163) × cos(1.22522103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3387380189437 × 6371000     		do = 206.897039204836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19941750--0.19932163) × cos(1.22518855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338768578571241 × 6371000     		du = 206.915704651593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22522103)-sin(1.22518855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3387380189437-0.338768578571241)×R²
    abs(-0.19932163--0.19941750)×3.05596275402276e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05596275402276e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05596275402276e-05×40589641000000     		ar = 42815.1520993516m²