Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30687 / 17119
↖ ↑ ↗
← N 64.851272°
W 11.431275°		 ← 259.59 m → N 64.851272°
W 11.425781°		 →
↑
259.62 m
↓
↑
259.62 m
↓
N 64.848937°
W 11.431275°		 ← 259.62 m →
67 398 m²		 N 64.848937°
W 11.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468254089355469 y=0.261222839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468254089355469 × 216)
    floor (0.468254089355469 × 65536)
    floor (30687.5)     		tx = 30687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261222839355469 × 216)
    floor (0.261222839355469 × 65536)
    floor (17119.5)     		ty = 17119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30687 / 17119 ti = "16/30687/17119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30687/17119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30687 ÷ 216
    30687 ÷ 65536     		x = 0.468246459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17119 ÷ 216
    17119 ÷ 65536     		y = 0.261215209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468246459960938 × 2 - 1) × π
    -0.063507080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19951338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261215209960938 × 2 - 1) × π
    0.477569580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50032908430852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19951338} λ = -0.19951338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50032908430852))-π/2
    2×atan(4.48316416658897)-π/2
    2×1.35133227182342-π/2
    2.70266454364684-1.57079632675     		φ = 1.13186822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19951338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.431275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13186822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.851272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30687 KachelY 17119 -0.19951338 1.13186822 -11.431275 64.851272
    Oben rechts KachelX + 1 30688 KachelY 17119 -0.19941750 1.13186822 -11.425781 64.851272
    Unten links KachelX 30687 KachelY + 1 17120 -0.19951338 1.13182747 -11.431275 64.848937
    Unten rechts KachelX + 1 30688 KachelY + 1 17120 -0.19941750 1.13182747 -11.425781 64.848937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13186822-1.13182747) × R
    4.07500000001448e-05 × 6371000     		dl = 259.618250000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13186822-1.13182747) × R
    4.07500000001448e-05 × 6371000     		dr = 259.618250000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19951338--0.19941750) × cos(1.13186822) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.424969423398972 × 6371000     		do = 259.593201237989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19951338--0.19941750) × cos(1.13182747) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.425006310260096 × 6371000     		du = 259.615733631699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13186822)-sin(1.13182747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424969423398972-0.425006310260096)×R²
    abs(-0.19941750--0.19951338)×3.68868611241857e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68868611241857e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68868611241857e-05×40589641000000     		ar = 67398.0575374356m²