Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30683 / 17109
↖ ↑ ↗
← N 64.874606°
W 11.453247°		 ← 259.34 m → N 64.874606°
W 11.447754°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
N 64.872273°
W 11.453247°		 ← 259.36 m →
67 266 m²		 N 64.872273°
W 11.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468193054199219 y=0.261070251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468193054199219 × 216)
    floor (0.468193054199219 × 65536)
    floor (30683.5)     		tx = 30683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261070251464844 × 216)
    floor (0.261070251464844 × 65536)
    floor (17109.5)     		ty = 17109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30683 / 17109 ti = "16/30683/17109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30683/17109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30683 ÷ 216
    30683 ÷ 65536     		x = 0.468185424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17109 ÷ 216
    17109 ÷ 65536     		y = 0.261062622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468185424804688 × 2 - 1) × π
    -0.063629150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19989687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261062622070312 × 2 - 1) × π
    0.477874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50128782230092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19989687} λ = -0.19989687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50128782230092))-π/2
    2×atan(4.48746440747442)-π/2
    2×1.35153590061195-π/2
    2.7030718012239-1.57079632675     		φ = 1.13227547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19989687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.453247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13227547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.874606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30683 KachelY 17109 -0.19989687 1.13227547 -11.453247 64.874606
    Oben rechts KachelX + 1 30684 KachelY 17109 -0.19980100 1.13227547 -11.447754 64.874606
    Unten links KachelX 30683 KachelY + 1 17110 -0.19989687 1.13223476 -11.453247 64.872273
    Unten rechts KachelX + 1 30684 KachelY + 1 17110 -0.19980100 1.13223476 -11.447754 64.872273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13227547-1.13223476) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dl = 259.363409999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13227547-1.13223476) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dr = 259.363409999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19989687--0.19980100) × cos(1.13227547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424600742330171 × 6371000     		do = 259.340940548184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19989687--0.19980100) × cos(1.13223476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42463760002656 × 6371000     		du = 259.363452778369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13227547)-sin(1.13223476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424600742330171-0.42463760002656)×R²
    abs(-0.19980100--0.19989687)×3.68576963883371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68576963883371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68576963883371e-05×40589641000000     		ar = 67266.4701267314m²