Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30682 / 17092
↖ ↑ ↗
← N 64.914227°
W 11.458741°		 ← 258.99 m → N 64.914227°
W 11.453247°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
N 64.911898°
W 11.458741°		 ← 259.01 m →
67 075 m²		 N 64.911898°
W 11.453247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468177795410156 y=0.260810852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468177795410156 × 216)
    floor (0.468177795410156 × 65536)
    floor (30682.5)     		tx = 30682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260810852050781 × 216)
    floor (0.260810852050781 × 65536)
    floor (17092.5)     		ty = 17092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30682 / 17092 ti = "16/30682/17092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30682/17092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30682 ÷ 216
    30682 ÷ 65536     		x = 0.468170166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17092 ÷ 216
    17092 ÷ 65536     		y = 0.26080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.06365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19999275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26080322265625 × 2 - 1) × π
    0.4783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.502917676888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19999275} λ = -0.19999275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.502917676888))-π/2
    2×atan(4.49478428547128)-π/2
    2×1.35188166414108-π/2
    2.70376332828216-1.57079632675     		φ = 1.13296700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19999275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.458741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13296700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.914227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30682 KachelY 17092 -0.19999275 1.13296700 -11.458741 64.914227
    Oben rechts KachelX + 1 30683 KachelY 17092 -0.19989687 1.13296700 -11.453247 64.914227
    Unten links KachelX 30682 KachelY + 1 17093 -0.19999275 1.13292635 -11.458741 64.911898
    Unten rechts KachelX + 1 30683 KachelY + 1 17093 -0.19989687 1.13292635 -11.453247 64.911898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13296700-1.13292635) × R
    4.06500000000865e-05 × 6371000     		dl = 258.981150000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13296700-1.13292635) × R
    4.06500000000865e-05 × 6371000     		dr = 258.981150000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19999275--0.19989687) × cos(1.13296700) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423974542940537 × 6371000     		do = 258.985477037531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19999275--0.19989687) × cos(1.13292635) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.424011358242658 × 6371000     		du = 259.007965719318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13296700)-sin(1.13292635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423974542940537-0.424011358242658)×R²
    abs(-0.19989687--0.19999275)×3.68153021210738e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68153021210738e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68153021210738e-05×40589641000000     		ar = 67075.2687583443m²