Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30680 / 7028
↖ ↑ ↗
← N 71.116771°
E157.060547°		 ← 395.37 m → N 71.116771°
E157.071533°		 →
↑
395.45 m
↓
↑
395.45 m
↓
N 71.113214°
E157.060547°		 ← 395.44 m →
156 363 m²		 N 71.113214°
E157.071533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.936294555664062 y=0.214492797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.936294555664062 × 215)
    floor (0.936294555664062 × 32768)
    floor (30680.5)     		tx = 30680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214492797851562 × 215)
    floor (0.214492797851562 × 32768)
    floor (7028.5)     		ty = 7028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30680 / 7028 ti = "15/30680/7028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30680/7028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30680 ÷ 215
    30680 ÷ 32768     		x = 0.936279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7028 ÷ 215
    7028 ÷ 32768     		y = 0.2144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.936279296875 × 2 - 1) × π
    0.87255859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.74122367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2144775390625 × 2 - 1) × π
    0.571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79399053138098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74122367} λ = 2.74122367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79399053138098))-π/2
    2×atan(6.01340131694417)-π/2
    2×1.40600906170335-π/2
    2.81201812340671-1.57079632675     		φ = 1.24122180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74122367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.060547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24122180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.116771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30680 KachelY 7028 2.74122367 1.24122180 157.060547 71.116771
    Oben rechts KachelX + 1 30681 KachelY 7028 2.74141542 1.24122180 157.071533 71.116771
    Unten links KachelX 30680 KachelY + 1 7029 2.74122367 1.24115973 157.060547 71.113214
    Unten rechts KachelX + 1 30681 KachelY + 1 7029 2.74141542 1.24115973 157.071533 71.113214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24122180-1.24115973) × R
    6.20700000000252e-05 × 6371000     		dl = 395.44797000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24122180-1.24115973) × R
    6.20700000000252e-05 × 6371000     		dr = 395.44797000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74122367-2.74141542) × cos(1.24122180) × R
    0.000191749999999935 × 0.323640483408607 × 6371000     		do = 395.371917420795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74122367-2.74141542) × cos(1.24115973) × R
    0.000191749999999935 × 0.323699212185767 × 6371000     		du = 395.443662800077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24122180)-sin(1.24115973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323640483408607-0.323699212185767)×R²
    abs(2.74141542-2.74122367)×5.87287771592337e-05×R²
    0.000191749999999935×5.87287771592337e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.87287771592337e-05×40589641000000     		ar = 156363.207972159m²