Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3068 / 5147
↖ ↑ ↗
← S 41.869561°
W 45.175781°		 ← 3 638.81 m → S 41.869561°
W 45.131836°		 →
↑
3 637.90 m
↓
↑
3 637.90 m
↓
S 41.902277°
W 45.175781°		 ← 3 636.94 m →
13 234 243 m²		 S 41.902277°
W 45.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37457275390625 y=0.62835693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37457275390625 × 213)
    floor (0.37457275390625 × 8192)
    floor (3068.5)     		tx = 3068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62835693359375 × 213)
    floor (0.62835693359375 × 8192)
    floor (5147.5)     		ty = 5147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3068 / 5147 ti = "13/3068/5147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3068/5147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3068 ÷ 213
    3068 ÷ 8192     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5147 ÷ 213
    5147 ÷ 8192     		y = 0.6282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.256591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.806106904010864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806106904010864))-π/2
    2×atan(0.446593316933429)-π/2
    2×0.420017317008479-π/2
    0.840034634016959-1.57079632675     		φ = -0.73076169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73076169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.869561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3068 KachelY 5147 -0.78846612 -0.73076169 -45.175781 -41.869561
    Oben rechts KachelX + 1 3069 KachelY 5147 -0.78769913 -0.73076169 -45.131836 -41.869561
    Unten links KachelX 3068 KachelY + 1 5148 -0.78846612 -0.73133270 -45.175781 -41.902277
    Unten rechts KachelX + 1 3069 KachelY + 1 5148 -0.78769913 -0.73133270 -45.131836 -41.902277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73076169--0.73133270) × R
    0.000571009999999927 × 6371000     		dl = 3637.90470999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73076169--0.73133270) × R
    0.000571009999999927 × 6371000     		dr = 3637.90470999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78769913) × cos(-0.73076169) × R
    0.000766990000000023 × 0.744666238297177 × 6371000     		do = 3638.80657672881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78769913) × cos(-0.73133270) × R
    0.000766990000000023 × 0.744285003697341 × 6371000     		du = 3636.94367641479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73076169)-sin(-0.73133270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744666238297177-0.744285003697341)×R²
    abs(-0.78769913--0.78846612)×0.000381234599836744×R²
    0.000766990000000023×0.000381234599836744×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381234599836744×40589641000000     		ar = 13234243.4169362m²