Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3068 / 3218
↖ ↑ ↗
← S 71.130988°
E 89.648437°		 ← 3 160.64 m → S 71.130988°
E 89.736328°		 →
↑
3 158.30 m
↓
↑
3 158.30 m
↓
S 71.159391°
E 89.648437°		 ← 3 156.05 m →
9 974 995 m²		 S 71.159391°
E 89.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7491455078125 y=0.7857666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7491455078125 × 212)
    floor (0.7491455078125 × 4096)
    floor (3068.5)     		tx = 3068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7857666015625 × 212)
    floor (0.7857666015625 × 4096)
    floor (3218.5)     		ty = 3218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3068 / 3218 ti = "12/3068/3218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3068/3218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3068 ÷ 212
    3068 ÷ 4096     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3218 ÷ 212
    3218 ÷ 4096     		y = 0.78564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78564453125 × 2 - 1) × π
    -0.5712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7947575217749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7947575217749))-π/2
    2×atan(0.166167739520802)-π/2
    2×0.164663195545424-π/2
    0.329326391090848-1.57079632675     		φ = -1.24146994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24146994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.130988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3068 KachelY 3218 1.56466040 -1.24146994 89.648437 -71.130988
    Oben rechts KachelX + 1 3069 KachelY 3218 1.56619438 -1.24146994 89.736328 -71.130988
    Unten links KachelX 3068 KachelY + 1 3219 1.56466040 -1.24196567 89.648437 -71.159391
    Unten rechts KachelX + 1 3069 KachelY + 1 3219 1.56619438 -1.24196567 89.736328 -71.159391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24146994--1.24196567) × R
    0.000495729999999917 × 6371000     		dl = 3158.29582999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24146994--1.24196567) × R
    0.000495729999999917 × 6371000     		dr = 3158.29582999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.56619438) × cos(-1.24146994) × R
    0.00153398000000005 × 0.323405688309846 × 6371000     		do = 3160.63945174788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.56619438) × cos(-1.24196567) × R
    0.00153398000000005 × 0.322936558918546 × 6371000     		du = 3156.05465650242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24146994)-sin(-1.24196567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323405688309846-0.322936558918546)×R²
    abs(1.56619438-1.56466040)×0.00046912939129945×R²
    0.00153398000000005×0.00046912939129945×6371000²
    0.00153398000000005×0.00046912939129945×40589641000000     		ar = 9974994.53501437m²