Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30679 / 20312
↖ ↑ ↗
← N 56.292157°
W 11.475220°		 ← 339 m → N 56.292157°
W 11.469726°		 →
↑
339 m
↓
↑
339 m
↓
N 56.289108°
W 11.475220°		 ← 339.02 m →
114 925 m²		 N 56.289108°
W 11.469726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468132019042969 y=0.309944152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468132019042969 × 216)
    floor (0.468132019042969 × 65536)
    floor (30679.5)     		tx = 30679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309944152832031 × 216)
    floor (0.309944152832031 × 65536)
    floor (20312.5)     		ty = 20312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30679 / 20312 ti = "16/30679/20312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30679/20312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30679 ÷ 216
    30679 ÷ 65536     		x = 0.468124389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20312 ÷ 216
    20312 ÷ 65536     		y = 0.3099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468124389648438 × 2 - 1) × π
    -0.063751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20028037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3099365234375 × 2 - 1) × π
    0.380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19420404333484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20028037} λ = -0.20028037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19420404333484))-π/2
    2×atan(3.30092932787748)-π/2
    2×1.27663990198954-π/2
    2.55327980397908-1.57079632675     		φ = 0.98248348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20028037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.475220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98248348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.292157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30679 KachelY 20312 -0.20028037 0.98248348 -11.475220 56.292157
    Oben rechts KachelX + 1 30680 KachelY 20312 -0.20018449 0.98248348 -11.469726 56.292157
    Unten links KachelX 30679 KachelY + 1 20313 -0.20028037 0.98243027 -11.475220 56.289108
    Unten rechts KachelX + 1 30680 KachelY + 1 20313 -0.20018449 0.98243027 -11.469726 56.289108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98248348-0.98243027) × R
    5.32099999999147e-05 × 6371000     		dl = 339.000909999457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98248348-0.98243027) × R
    5.32099999999147e-05 × 6371000     		dr = 339.000909999457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20028037--0.20018449) × cos(0.98248348) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.554958307511156 × 6371000     		do = 338.997103481557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20028037--0.20018449) × cos(0.98243027) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.555002570962523 × 6371000     		du = 339.024141876335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98248348)-sin(0.98243027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554958307511156-0.555002570962523)×R²
    abs(-0.20018449--0.20028037)×4.42634513675433e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.42634513675433e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.42634513675433e-05×40589641000000     		ar = 114924.909614493m²