Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30679 / 17095
↖ ↑ ↗
← N 64.907240°
W 11.475220°		 ← 259.05 m → N 64.907240°
W 11.469726°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
N 64.904910°
W 11.475220°		 ← 259.08 m →
67 109 m²		 N 64.904910°
W 11.469726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468132019042969 y=0.260856628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468132019042969 × 216)
    floor (0.468132019042969 × 65536)
    floor (30679.5)     		tx = 30679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260856628417969 × 216)
    floor (0.260856628417969 × 65536)
    floor (17095.5)     		ty = 17095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30679 / 17095 ti = "16/30679/17095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30679/17095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30679 ÷ 216
    30679 ÷ 65536     		x = 0.468124389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17095 ÷ 216
    17095 ÷ 65536     		y = 0.260848999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468124389648438 × 2 - 1) × π
    -0.063751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20028037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260848999023438 × 2 - 1) × π
    0.478302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50263005549028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20028037} λ = -0.20028037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50263005549028))-π/2
    2×atan(4.49349167523273)-π/2
    2×1.35182068412407-π/2
    2.70364136824814-1.57079632675     		φ = 1.13284504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20028037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.475220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13284504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.907240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30679 KachelY 17095 -0.20028037 1.13284504 -11.475220 64.907240
    Oben rechts KachelX + 1 30680 KachelY 17095 -0.20018449 1.13284504 -11.469726 64.907240
    Unten links KachelX 30679 KachelY + 1 17096 -0.20028037 1.13280438 -11.475220 64.904910
    Unten rechts KachelX + 1 30680 KachelY + 1 17096 -0.20018449 1.13280438 -11.469726 64.904910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13284504-1.13280438) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dl = 259.044860000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13284504-1.13280438) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dr = 259.044860000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20028037--0.20018449) × cos(1.13284504) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.424084995801125 × 6371000     		do = 259.052947330966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20028037--0.20018449) × cos(1.13280438) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.424121818057005 × 6371000     		du = 259.075440260467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13284504)-sin(1.13280438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424084995801125-0.424121818057005)×R²
    abs(-0.20018449--0.20028037)×3.68222558799203e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.68222558799203e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.68222558799203e-05×40589641000000     		ar = 67109.2478219289m²