Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30672 / 17103
↖ ↑ ↗
← N 64.888597°
W 11.513672°		 ← 259.21 m → N 64.888597°
W 11.508179°		 →
↑
259.24 m
↓
↑
259.24 m
↓
N 64.886265°
W 11.513672°		 ← 259.23 m →
67 198 m²		 N 64.886265°
W 11.508179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468025207519531 y=0.260978698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468025207519531 × 216)
    floor (0.468025207519531 × 65536)
    floor (30672.5)     		tx = 30672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260978698730469 × 216)
    floor (0.260978698730469 × 65536)
    floor (17103.5)     		ty = 17103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30672 / 17103 ti = "16/30672/17103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30672/17103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30672 ÷ 216
    30672 ÷ 65536     		x = 0.468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17103 ÷ 216
    17103 ÷ 65536     		y = 0.260971069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.06396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20095148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260971069335938 × 2 - 1) × π
    0.478057861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50186306509636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20095148} λ = -0.20095148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50186306509636))-π/2
    2×atan(4.49004653164757)-π/2
    2×1.35165799307209-π/2
    2.70331598614418-1.57079632675     		φ = 1.13251966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20095148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13251966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.888597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30672 KachelY 17103 -0.20095148 1.13251966 -11.513672 64.888597
    Oben rechts KachelX + 1 30673 KachelY 17103 -0.20085561 1.13251966 -11.508179 64.888597
    Unten links KachelX 30672 KachelY + 1 17104 -0.20095148 1.13247897 -11.513672 64.886265
    Unten rechts KachelX + 1 30673 KachelY + 1 17104 -0.20085561 1.13247897 -11.508179 64.886265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13251966-1.13247897) × R
    4.06900000000654e-05 × 6371000     		dl = 259.235990000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13251966-1.13247897) × R
    4.06900000000654e-05 × 6371000     		dr = 259.235990000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20095148--0.20085561) × cos(1.13251966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424379644760341 × 6371000     		do = 259.205896856555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20095148--0.20085561) × cos(1.13247897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424416488567418 × 6371000     		du = 259.228400603318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13251966)-sin(1.13247897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424379644760341-0.424416488567418)×R²
    abs(-0.20085561--0.20095148)×3.68438070764143e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68438070764143e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68438070764143e-05×40589641000000     		ar = 67198.4141854537m²