Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30669 / 6709
↖ ↑ ↗
← N 72.218746°
E156.939697°		 ← 373.07 m → N 72.218746°
E156.950683°		 →
↑
373.09 m
↓
↑
373.09 m
↓
N 72.215391°
E156.939697°		 ← 373.14 m →
139 199 m²		 N 72.215391°
E156.950683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935958862304688 y=0.204757690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935958862304688 × 215)
    floor (0.935958862304688 × 32768)
    floor (30669.5)     		tx = 30669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204757690429688 × 215)
    floor (0.204757690429688 × 32768)
    floor (6709.5)     		ty = 6709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30669 / 6709 ti = "15/30669/6709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30669/6709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30669 ÷ 215
    30669 ÷ 32768     		x = 0.935943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6709 ÷ 215
    6709 ÷ 32768     		y = 0.204742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935943603515625 × 2 - 1) × π
    0.87188720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73911444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204742431640625 × 2 - 1) × π
    0.59051513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85515801529617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73911444} λ = 2.73911444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85515801529617))-π/2
    2×atan(6.39270831651385)-π/2
    2×1.41562561437395-π/2
    2.83125122874789-1.57079632675     		φ = 1.26045490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73911444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.939697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26045490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.218746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30669 KachelY 6709 2.73911444 1.26045490 156.939697 72.218746
    Oben rechts KachelX + 1 30670 KachelY 6709 2.73930619 1.26045490 156.950683 72.218746
    Unten links KachelX 30669 KachelY + 1 6710 2.73911444 1.26039634 156.939697 72.215391
    Unten rechts KachelX + 1 30670 KachelY + 1 6710 2.73930619 1.26039634 156.950683 72.215391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26045490-1.26039634) × R
    5.85600000000408e-05 × 6371000     		dl = 373.08576000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26045490-1.26039634) × R
    5.85600000000408e-05 × 6371000     		dr = 373.08576000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73911444-2.73930619) × cos(1.26045490) × R
    0.000191750000000379 × 0.305383770854878 × 6371000     		do = 373.068800790063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73911444-2.73930619) × cos(1.26039634) × R
    0.000191750000000379 × 0.305439532882498 × 6371000     		du = 373.136921871663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26045490)-sin(1.26039634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305383770854878-0.305439532882498)×R²
    abs(2.73930619-2.73911444)×5.57620276199211e-05×R²
    0.000191750000000379×5.57620276199211e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.57620276199211e-05×40589641000000     		ar = 139199.364617905m²