Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30665 / 20286
↖ ↑ ↗
← N 56.371335°
W 11.552124°		 ← 338.26 m → N 56.371335°
W 11.546631°		 →
↑
338.30 m
↓
↑
338.30 m
↓
N 56.368293°
W 11.552124°		 ← 338.29 m →
114 438 m²		 N 56.368293°
W 11.546631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467918395996094 y=0.309547424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467918395996094 × 216)
    floor (0.467918395996094 × 65536)
    floor (30665.5)     		tx = 30665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309547424316406 × 216)
    floor (0.309547424316406 × 65536)
    floor (20286.5)     		ty = 20286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30665 / 20286 ti = "16/30665/20286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30665/20286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30665 ÷ 216
    30665 ÷ 65536     		x = 0.467910766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20286 ÷ 216
    20286 ÷ 65536     		y = 0.309539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467910766601562 × 2 - 1) × π
    -0.064178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20162260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309539794921875 × 2 - 1) × π
    0.38092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19669676211508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20162260} λ = -0.20162260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19669676211508))-π/2
    2×atan(3.3091678803366)-π/2
    2×1.27733086262107-π/2
    2.55466172524215-1.57079632675     		φ = 0.98386540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20162260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.552124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98386540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.371335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30665 KachelY 20286 -0.20162260 0.98386540 -11.552124 56.371335
    Oben rechts KachelX + 1 30666 KachelY 20286 -0.20152673 0.98386540 -11.546631 56.371335
    Unten links KachelX 30665 KachelY + 1 20287 -0.20162260 0.98381230 -11.552124 56.368293
    Unten rechts KachelX + 1 30666 KachelY + 1 20287 -0.20152673 0.98381230 -11.546631 56.368293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98386540-0.98381230) × R
    5.31000000000281e-05 × 6371000     		dl = 338.300100000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98386540-0.98381230) × R
    5.31000000000281e-05 × 6371000     		dr = 338.300100000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20162260--0.20152673) × cos(0.98386540) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.553808188904339 × 6371000     		do = 338.25926870871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20162260--0.20152673) × cos(0.98381230) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.553852401534598 × 6371000     		du = 338.286273242552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98386540)-sin(0.98381230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553808188904339-0.553852401534598)×R²
    abs(-0.20152673--0.20162260)×4.42126302588886e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.42126302588886e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.42126302588886e-05×40589641000000     		ar = 114437.712275557m²