Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3066 / 3163
↖ ↑ ↗
← S 69.503765°
E 89.472656°		 ← 3 421.97 m → S 69.503765°
E 89.560547°		 →
↑
3 419.51 m
↓
↑
3 419.51 m
↓
S 69.534518°
E 89.472656°		 ← 3 417.06 m →
11 693 050 m²		 S 69.534518°
E 89.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7486572265625 y=0.7723388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7486572265625 × 212)
    floor (0.7486572265625 × 4096)
    floor (3066.5)     		tx = 3066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7723388671875 × 212)
    floor (0.7723388671875 × 4096)
    floor (3163.5)     		ty = 3163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3066 / 3163 ti = "12/3066/3163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3066/3163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3066 ÷ 212
    3066 ÷ 4096     		x = 0.74853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3163 ÷ 212
    3163 ÷ 4096     		y = 0.772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74853515625 × 2 - 1) × π
    0.4970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56159244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.54443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7103885784436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56159244} λ = 1.56159244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7103885784436))-π/2
    2×atan(0.18079552572191)-π/2
    2×0.178863390807555-π/2
    0.35772678161511-1.57079632675     		φ = -1.21306955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56159244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21306955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.503765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3066 KachelY 3163 1.56159244 -1.21306955 89.472656 -69.503765
    Oben rechts KachelX + 1 3067 KachelY 3163 1.56312642 -1.21306955 89.560547 -69.503765
    Unten links KachelX 3066 KachelY + 1 3164 1.56159244 -1.21360628 89.472656 -69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 3067 KachelY + 1 3164 1.56312642 -1.21360628 89.560547 -69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21306955--1.21360628) × R
    0.000536730000000096 × 6371000     		dl = 3419.50683000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21306955--1.21360628) × R
    0.000536730000000096 × 6371000     		dr = 3419.50683000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56159244-1.56312642) × cos(-1.21306955) × R
    0.00153397999999982 × 0.350145822534387 × 6371000     		do = 3421.97042467123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56159244-1.56312642) × cos(-1.21360628) × R
    0.00153397999999982 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 3417.05653939147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21306955)-sin(-1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350145822534387-0.349643019707478)×R²
    abs(1.56312642-1.56159244)×0.000502802826908233×R²
    0.00153397999999982×0.000502802826908233×6371000²
    0.00153397999999982×0.000502802826908233×40589641000000     		ar = 11693049.9877964m²