Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30656 / 20418
↖ ↑ ↗
← N 55.967650°
W 11.601562°		 ← 341.83 m → N 55.967650°
W 11.596069°		 →
↑
341.87 m
↓
↑
341.87 m
↓
N 55.964576°
W 11.601562°		 ← 341.86 m →
116 867 m²		 N 55.964576°
W 11.596069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467781066894531 y=0.311561584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467781066894531 × 216)
    floor (0.467781066894531 × 65536)
    floor (30656.5)     		tx = 30656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311561584472656 × 216)
    floor (0.311561584472656 × 65536)
    floor (20418.5)     		ty = 20418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30656 / 20418 ti = "16/30656/20418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30656/20418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30656 ÷ 216
    30656 ÷ 65536     		x = 0.4677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20418 ÷ 216
    20418 ÷ 65536     		y = 0.311553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4677734375 × 2 - 1) × π
    -0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311553955078125 × 2 - 1) × π
    0.37689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18404142061539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20248546} λ = -0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18404142061539))-π/2
    2×atan(3.2675531107006)-π/2
    2×1.27380804759706-π/2
    2.54761609519411-1.57079632675     		φ = 0.97681977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97681977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.967650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30656 KachelY 20418 -0.20248546 0.97681977 -11.601562 55.967650
    Oben rechts KachelX + 1 30657 KachelY 20418 -0.20238959 0.97681977 -11.596069 55.967650
    Unten links KachelX 30656 KachelY + 1 20419 -0.20248546 0.97676611 -11.601562 55.964576
    Unten rechts KachelX + 1 30657 KachelY + 1 20419 -0.20238959 0.97676611 -11.596069 55.964576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97681977-0.97676611) × R
    5.36599999999554e-05 × 6371000     		dl = 341.867859999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97681977-0.97676611) × R
    5.36599999999554e-05 × 6371000     		dr = 341.867859999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20248546--0.20238959) × cos(0.97681977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559660898144255 × 6371000     		do = 341.834031933719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20248546--0.20238959) × cos(0.97676611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559705366545659 × 6371000     		du = 341.861192689448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97681977)-sin(0.97676611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559660898144255-0.559705366545659)×R²
    abs(-0.20238959--0.20248546)×4.44684014039298e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44684014039298e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44684014039298e-05×40589641000000     		ar = 116866.711694652m²