Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30656 / 16984
↖ ↑ ↗
← N 65.164579°
W 11.601562°		 ← 256.54 m → N 65.164579°
W 11.596069°		 →
↑
256.56 m
↓
↑
256.56 m
↓
N 65.162272°
W 11.601562°		 ← 256.56 m →
65 821 m²		 N 65.162272°
W 11.596069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467781066894531 y=0.259162902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467781066894531 × 216)
    floor (0.467781066894531 × 65536)
    floor (30656.5)     		tx = 30656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259162902832031 × 216)
    floor (0.259162902832031 × 65536)
    floor (16984.5)     		ty = 16984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30656 / 16984 ti = "16/30656/16984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30656/16984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30656 ÷ 216
    30656 ÷ 65536     		x = 0.4677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16984 ÷ 216
    16984 ÷ 65536     		y = 0.2591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4677734375 × 2 - 1) × π
    -0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2591552734375 × 2 - 1) × π
    0.481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51327204720593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20248546} λ = -0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51327204720593))-π/2
    2×atan(4.54156672986605)-π/2
    2×1.35406639198922-π/2
    2.70813278397843-1.57079632675     		φ = 1.13733646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13733646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.164579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30656 KachelY 16984 -0.20248546 1.13733646 -11.601562 65.164579
    Oben rechts KachelX + 1 30657 KachelY 16984 -0.20238959 1.13733646 -11.596069 65.164579
    Unten links KachelX 30656 KachelY + 1 16985 -0.20248546 1.13729619 -11.601562 65.162272
    Unten rechts KachelX + 1 30657 KachelY + 1 16985 -0.20238959 1.13729619 -11.596069 65.162272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13733646-1.13729619) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dl = 256.560169999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13733646-1.13729619) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dr = 256.560169999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20248546--0.20238959) × cos(1.13733646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420013201459149 × 6371000     		do = 256.538926689789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20248546--0.20238959) × cos(1.13729619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420049746868221 × 6371000     		du = 256.5612481787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13733646)-sin(1.13729619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420013201459149-0.420049746868221)×R²
    abs(-0.20238959--0.20248546)×3.65454090723305e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65454090723305e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65454090723305e-05×40589641000000     		ar = 65820.5340546821m²