Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30654 / 20474
↖ ↑ ↗
← N 55.795106°
W 11.612549°		 ← 343.36 m → N 55.795106°
W 11.607056°		 →
↑
343.40 m
↓
↑
343.40 m
↓
N 55.792017°
W 11.612549°		 ← 343.38 m →
117 912 m²		 N 55.792017°
W 11.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467750549316406 y=0.312416076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467750549316406 × 216)
    floor (0.467750549316406 × 65536)
    floor (30654.5)     		tx = 30654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312416076660156 × 216)
    floor (0.312416076660156 × 65536)
    floor (20474.5)     		ty = 20474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30654 / 20474 ti = "16/30654/20474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30654/20474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30654 ÷ 216
    30654 ÷ 65536     		x = 0.467742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20474 ÷ 216
    20474 ÷ 65536     		y = 0.312408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.06451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20267721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312408447265625 × 2 - 1) × π
    0.37518310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17867248785794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20267721} λ = -0.20267721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17867248785794))-π/2
    2×atan(3.25005684792513)-π/2
    2×1.27230231170747-π/2
    2.54460462341493-1.57079632675     		φ = 0.97380830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20267721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.612549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97380830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.795106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30654 KachelY 20474 -0.20267721 0.97380830 -11.612549 55.795106
    Oben rechts KachelX + 1 30655 KachelY 20474 -0.20258134 0.97380830 -11.607056 55.795106
    Unten links KachelX 30654 KachelY + 1 20475 -0.20267721 0.97375440 -11.612549 55.792017
    Unten rechts KachelX + 1 30655 KachelY + 1 20475 -0.20258134 0.97375440 -11.607056 55.792017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97380830-0.97375440) × R
    5.38999999999401e-05 × 6371000     		dl = 343.396899999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97380830-0.97375440) × R
    5.38999999999401e-05 × 6371000     		dr = 343.396899999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20267721--0.20258134) × cos(0.97380830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562154027184957 × 6371000     		do = 343.356804660812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20267721--0.20258134) × cos(0.97375440) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56219860342315 × 6371000     		du = 343.384031281933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97380830)-sin(0.97375440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562154027184957-0.56219860342315)×R²
    abs(-0.20258134--0.20267721)×4.45762381927617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45762381927617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45762381927617e-05×40589641000000     		ar = 117912.337111535m²