Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30651 / 16941
↖ ↑ ↗
← N 65.263603°
W 11.629028°		 ← 255.58 m → N 65.263603°
W 11.623535°		 →
↑
255.60 m
↓
↑
255.60 m
↓
N 65.261305°
W 11.629028°		 ← 255.60 m →
65 330 m²		 N 65.261305°
W 11.623535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467704772949219 y=0.258506774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467704772949219 × 216)
    floor (0.467704772949219 × 65536)
    floor (30651.5)     		tx = 30651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258506774902344 × 216)
    floor (0.258506774902344 × 65536)
    floor (16941.5)     		ty = 16941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30651 / 16941 ti = "16/30651/16941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30651/16941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30651 ÷ 216
    30651 ÷ 65536     		x = 0.467697143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16941 ÷ 216
    16941 ÷ 65536     		y = 0.258499145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467697143554688 × 2 - 1) × π
    -0.064605712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20296483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258499145507812 × 2 - 1) × π
    0.483001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51739462057326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20296483} λ = -0.20296483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51739462057326))-π/2
    2×atan(4.56032831835299)-π/2
    2×1.35493054164855-π/2
    2.70986108329709-1.57079632675     		φ = 1.13906476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20296483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.629028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13906476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.263603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30651 KachelY 16941 -0.20296483 1.13906476 -11.629028 65.263603
    Oben rechts KachelX + 1 30652 KachelY 16941 -0.20286896 1.13906476 -11.623535 65.263603
    Unten links KachelX 30651 KachelY + 1 16942 -0.20296483 1.13902464 -11.629028 65.261305
    Unten rechts KachelX + 1 30652 KachelY + 1 16942 -0.20286896 1.13902464 -11.623535 65.261305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13906476-1.13902464) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dl = 255.604519999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13906476-1.13902464) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dr = 255.604519999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20296483--0.20286896) × cos(1.13906476) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.4184441115959 × 6371000     		do = 255.580545791359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20296483--0.20286896) × cos(1.13902464) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.418480549950137 × 6371000     		du = 255.602801892486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13906476)-sin(1.13902464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4184441115959-0.418480549950137)×R²
    abs(-0.20286896--0.20296483)×3.64383542375002e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.64383542375002e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.64383542375002e-05×40589641000000     		ar = 65330.3871168714m²