Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30650 / 7065
↖ ↑ ↗
← N 70.984770°
E156.730957°		 ← 398.03 m → N 70.984770°
E156.741944°		 →
↑
398.12 m
↓
↑
398.12 m
↓
N 70.981190°
E156.730957°		 ← 398.11 m →
158 481 m²		 N 70.981190°
E156.741944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935379028320312 y=0.215621948242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935379028320312 × 215)
    floor (0.935379028320312 × 32768)
    floor (30650.5)     		tx = 30650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215621948242188 × 215)
    floor (0.215621948242188 × 32768)
    floor (7065.5)     		ty = 7065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30650 / 7065 ti = "15/30650/7065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30650/7065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30650 ÷ 215
    30650 ÷ 32768     		x = 0.93536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7065 ÷ 215
    7065 ÷ 32768     		y = 0.215606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93536376953125 × 2 - 1) × π
    0.8707275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73547124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215606689453125 × 2 - 1) × π
    0.56878662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78689587023721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73547124} λ = 2.73547124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78689587023721))-π/2
    2×atan(5.97088925493366)-π/2
    2×1.40485714092776-π/2
    2.80971428185553-1.57079632675     		φ = 1.23891796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73547124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.730957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23891796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.984770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30650 KachelY 7065 2.73547124 1.23891796 156.730957 70.984770
    Oben rechts KachelX + 1 30651 KachelY 7065 2.73566299 1.23891796 156.741944 70.984770
    Unten links KachelX 30650 KachelY + 1 7066 2.73547124 1.23885547 156.730957 70.981190
    Unten rechts KachelX + 1 30651 KachelY + 1 7066 2.73566299 1.23885547 156.741944 70.981190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23891796-1.23885547) × R
    6.24899999999151e-05 × 6371000     		dl = 398.123789999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23891796-1.23885547) × R
    6.24899999999151e-05 × 6371000     		dr = 398.123789999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73547124-2.73566299) × cos(1.23891796) × R
    0.000191749999999935 × 0.325819470220403 × 6371000     		do = 398.033853235315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73547124-2.73566299) × cos(1.23885547) × R
    0.000191749999999935 × 0.325878549630086 × 6371000     		du = 398.106026961052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23891796)-sin(1.23885547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325819470220403-0.325878549630086)×R²
    abs(2.73566299-2.73547124)×5.90794096838598e-05×R²
    0.000191749999999935×5.90794096838598e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.90794096838598e-05×40589641000000     		ar = 158481.113288632m²