Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3065 / 3161
↖ ↑ ↗
← S 69.442128°
E 89.384766°		 ← 3 431.82 m → S 69.442128°
E 89.472656°		 →
↑
3 429.32 m
↓
↑
3 429.32 m
↓
S 69.472968°
E 89.384766°		 ← 3 426.89 m →
11 760 344 m²		 S 69.472968°
E 89.472656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7484130859375 y=0.7718505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7484130859375 × 212)
    floor (0.7484130859375 × 4096)
    floor (3065.5)     		tx = 3065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7718505859375 × 212)
    floor (0.7718505859375 × 4096)
    floor (3161.5)     		ty = 3161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3065 / 3161 ti = "12/3065/3161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3065/3161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3065 ÷ 212
    3065 ÷ 4096     		x = 0.748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3161 ÷ 212
    3161 ÷ 4096     		y = 0.771728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.748291015625 × 2 - 1) × π
    0.49658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.56005846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.54345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70732061686792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56005846} λ = 1.56005846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70732061686792))-π/2
    2×atan(0.181351051177522)-π/2
    2×0.179401280183912-π/2
    0.358802560367823-1.57079632675     		φ = -1.21199377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56005846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21199377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.442128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3065 KachelY 3161 1.56005846 -1.21199377 89.384766 -69.442128
    Oben rechts KachelX + 1 3066 KachelY 3161 1.56159244 -1.21199377 89.472656 -69.442128
    Unten links KachelX 3065 KachelY + 1 3162 1.56005846 -1.21253204 89.384766 -69.472968
    Unten rechts KachelX + 1 3066 KachelY + 1 3162 1.56159244 -1.21253204 89.472656 -69.472968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21199377--1.21253204) × R
    0.000538269999999841 × 6371000     		dl = 3429.31816999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21199377--1.21253204) × R
    0.000538269999999841 × 6371000     		dr = 3429.31816999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56005846-1.56159244) × cos(-1.21199377) × R
    0.00153398000000005 × 0.35115329769298 × 6371000     		do = 3431.81646587634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56005846-1.56159244) × cos(-1.21253204) × R
    0.00153398000000005 × 0.350649254967064 × 6371000     		du = 3426.89046308022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21199377)-sin(-1.21253204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35115329769298-0.350649254967064)×R²
    abs(1.56159244-1.56005846)×0.000504042725916032×R²
    0.00153398000000005×0.000504042725916032×6371000²
    0.00153398000000005×0.000504042725916032×40589641000000     		ar = 11760344.4310303m²