Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30649 / 20411
↖ ↑ ↗
← N 55.989164°
W 11.640015°		 ← 341.64 m → N 55.989164°
W 11.634522°		 →
↑
341.68 m
↓
↑
341.68 m
↓
N 55.986091°
W 11.640015°		 ← 341.67 m →
116 736 m²		 N 55.986091°
W 11.634522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467674255371094 y=0.311454772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467674255371094 × 216)
    floor (0.467674255371094 × 65536)
    floor (30649.5)     		tx = 30649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311454772949219 × 216)
    floor (0.311454772949219 × 65536)
    floor (20411.5)     		ty = 20411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30649 / 20411 ti = "16/30649/20411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30649/20411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30649 ÷ 216
    30649 ÷ 65536     		x = 0.467666625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20411 ÷ 216
    20411 ÷ 65536     		y = 0.311447143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467666625976562 × 2 - 1) × π
    -0.064666748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20315658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311447143554688 × 2 - 1) × π
    0.377105712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18471253721007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20315658} λ = -0.20315658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18471253721007))-π/2
    2×atan(3.26974675583068)-π/2
    2×1.2739957942369-π/2
    2.54799158847379-1.57079632675     		φ = 0.97719526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20315658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.640015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97719526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.989164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30649 KachelY 20411 -0.20315658 0.97719526 -11.640015 55.989164
    Oben rechts KachelX + 1 30650 KachelY 20411 -0.20306071 0.97719526 -11.634522 55.989164
    Unten links KachelX 30649 KachelY + 1 20412 -0.20315658 0.97714163 -11.640015 55.986091
    Unten rechts KachelX + 1 30650 KachelY + 1 20412 -0.20306071 0.97714163 -11.634522 55.986091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97719526-0.97714163) × R
    5.36300000000267e-05 × 6371000     		dl = 341.67673000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97719526-0.97714163) × R
    5.36300000000267e-05 × 6371000     		dr = 341.67673000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20315658--0.20306071) × cos(0.97719526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559349681981154 × 6371000     		do = 341.643944907471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20315658--0.20306071) × cos(0.97714163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559394136789309 × 6371000     		du = 341.671097360609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97719526)-sin(0.97714163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559349681981154-0.559394136789309)×R²
    abs(-0.20306071--0.20315658)×4.44548081547369e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44548081547369e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44548081547369e-05×40589641000000     		ar = 116736.424628867m²