Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30648 / 7064
↖ ↑ ↗
← N 70.988349°
E156.708984°		 ← 397.96 m → N 70.988349°
E156.719971°		 →
↑
397.93 m
↓
↑
397.93 m
↓
N 70.984770°
E156.708984°		 ← 398.03 m →
158 376 m²		 N 70.984770°
E156.719971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935317993164062 y=0.215591430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935317993164062 × 215)
    floor (0.935317993164062 × 32768)
    floor (30648.5)     		tx = 30648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215591430664062 × 215)
    floor (0.215591430664062 × 32768)
    floor (7064.5)     		ty = 7064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30648 / 7064 ti = "15/30648/7064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30648/7064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30648 ÷ 215
    30648 ÷ 32768     		x = 0.935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7064 ÷ 215
    7064 ÷ 32768     		y = 0.215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935302734375 × 2 - 1) × π
    0.87060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.73508774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215576171875 × 2 - 1) × π
    0.56884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78708761783569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73508774} λ = 2.73508774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78708761783569))-π/2
    2×atan(5.97203426838237)-π/2
    2×1.4048883756474-π/2
    2.8097767512948-1.57079632675     		φ = 1.23898042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73508774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23898042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.988349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30648 KachelY 7064 2.73508774 1.23898042 156.708984 70.988349
    Oben rechts KachelX + 1 30649 KachelY 7064 2.73527949 1.23898042 156.719971 70.988349
    Unten links KachelX 30648 KachelY + 1 7065 2.73508774 1.23891796 156.708984 70.984770
    Unten rechts KachelX + 1 30649 KachelY + 1 7065 2.73527949 1.23891796 156.719971 70.984770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23898042-1.23891796) × R
    6.24600000000974e-05 × 6371000     		dl = 397.932660000621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23898042-1.23891796) × R
    6.24600000000974e-05 × 6371000     		dr = 397.932660000621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73508774-2.73527949) × cos(1.23898042) × R
    0.000191749999999935 × 0.325760417901964 × 6371000     		do = 397.961712605307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73508774-2.73527949) × cos(1.23891796) × R
    0.000191749999999935 × 0.325819470220403 × 6371000     		du = 398.033853235315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23898042)-sin(1.23891796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325760417901964-0.325819470220403)×R²
    abs(2.73527949-2.73508774)×5.90523184384462e-05×R²
    0.000191749999999935×5.90523184384462e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.90523184384462e-05×40589641000000     		ar = 158376.316483669m²