Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30647 / 20422
↖ ↑ ↗
← N 55.955351°
W 11.651001°		 ← 341.98 m → N 55.955351°
W 11.645508°		 →
↑
342 m
↓
↑
342 m
↓
N 55.952275°
W 11.651001°		 ← 342.01 m →
116 960 m²		 N 55.952275°
W 11.645508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467643737792969 y=0.311622619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467643737792969 × 216)
    floor (0.467643737792969 × 65536)
    floor (30647.5)     		tx = 30647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311622619628906 × 216)
    floor (0.311622619628906 × 65536)
    floor (20422.5)     		ty = 20422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30647 / 20422 ti = "16/30647/20422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30647/20422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30647 ÷ 216
    30647 ÷ 65536     		x = 0.467636108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20422 ÷ 216
    20422 ÷ 65536     		y = 0.311614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467636108398438 × 2 - 1) × π
    -0.064727783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20334833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311614990234375 × 2 - 1) × π
    0.37677001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18365792541843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20334833} λ = -0.20334833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18365792541843))-π/2
    2×atan(3.26630026002329)-π/2
    2×1.27370071690992-π/2
    2.54740143381984-1.57079632675     		φ = 0.97660511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20334833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.651001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97660511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.955351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30647 KachelY 20422 -0.20334833 0.97660511 -11.651001 55.955351
    Oben rechts KachelX + 1 30648 KachelY 20422 -0.20325245 0.97660511 -11.645508 55.955351
    Unten links KachelX 30647 KachelY + 1 20423 -0.20334833 0.97655143 -11.651001 55.952275
    Unten rechts KachelX + 1 30648 KachelY + 1 20423 -0.20325245 0.97655143 -11.645508 55.952275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97660511-0.97655143) × R
    5.36800000000559e-05 × 6371000     		dl = 341.995280000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97660511-0.97655143) × R
    5.36800000000559e-05 × 6371000     		dr = 341.995280000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20334833--0.20325245) × cos(0.97660511) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.559838778651711 × 6371000     		do = 341.978346500764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20334833--0.20325245) × cos(0.97655143) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.559883257176723 × 6371000     		du = 342.005516273596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97660511)-sin(0.97655143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559838778651711-0.559883257176723)×R²
    abs(-0.20325245--0.20334833)×4.44785250124369e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44785250124369e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44785250124369e-05×40589641000000     		ar = 116959.626360508m²