Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30647 / 16899
↖ ↑ ↗
← N 65.359967°
W 11.651001°		 ← 254.67 m → N 65.359967°
W 11.645508°		 →
↑
254.71 m
↓
↑
254.71 m
↓
N 65.357677°
W 11.651001°		 ← 254.70 m →
64 871 m²		 N 65.357677°
W 11.645508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467643737792969 y=0.257865905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467643737792969 × 216)
    floor (0.467643737792969 × 65536)
    floor (30647.5)     		tx = 30647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257865905761719 × 216)
    floor (0.257865905761719 × 65536)
    floor (16899.5)     		ty = 16899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30647 / 16899 ti = "16/30647/16899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30647/16899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30647 ÷ 216
    30647 ÷ 65536     		x = 0.467636108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16899 ÷ 216
    16899 ÷ 65536     		y = 0.257858276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467636108398438 × 2 - 1) × π
    -0.064727783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20334833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257858276367188 × 2 - 1) × π
    0.484283447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52142132014134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20334833} λ = -0.20334833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52142132014134))-π/2
    2×atan(4.57872841138409)-π/2
    2×1.35577147693917-π/2
    2.71154295387835-1.57079632675     		φ = 1.14074663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20334833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.651001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14074663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.359967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30647 KachelY 16899 -0.20334833 1.14074663 -11.651001 65.359967
    Oben rechts KachelX + 1 30648 KachelY 16899 -0.20325245 1.14074663 -11.645508 65.359967
    Unten links KachelX 30647 KachelY + 1 16900 -0.20334833 1.14070665 -11.651001 65.357677
    Unten rechts KachelX + 1 30648 KachelY + 1 16900 -0.20325245 1.14070665 -11.645508 65.357677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14074663-1.14070665) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dl = 254.712579999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14074663-1.14070665) × R
    3.99799999999395e-05 × 6371000     		dr = 254.712579999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20334833--0.20325245) × cos(1.14074663) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.416915974598834 × 6371000     		do = 254.673740119321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20334833--0.20325245) × cos(1.14070665) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.416952313887981 × 6371000     		du = 254.695938027878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14074663)-sin(1.14070665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416915974598834-0.416952313887981)×R²
    abs(-0.20325245--0.20334833)×3.63392891466474e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.63392891466474e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.63392891466474e-05×40589641000000     		ar = 64871.4324559862m²