Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30645 / 20477
↖ ↑ ↗
← N 55.785840°
W 11.661988°		 ← 343.47 m → N 55.785840°
W 11.656494°		 →
↑
343.46 m
↓
↑
343.46 m
↓
N 55.782752°
W 11.661988°		 ← 343.50 m →
117 975 m²		 N 55.782752°
W 11.656494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467613220214844 y=0.312461853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467613220214844 × 216)
    floor (0.467613220214844 × 65536)
    floor (30645.5)     		tx = 30645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312461853027344 × 216)
    floor (0.312461853027344 × 65536)
    floor (20477.5)     		ty = 20477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30645 / 20477 ti = "16/30645/20477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30645/20477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30645 ÷ 216
    30645 ÷ 65536     		x = 0.467605590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20477 ÷ 216
    20477 ÷ 65536     		y = 0.312454223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467605590820312 × 2 - 1) × π
    -0.064788818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20354008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312454223632812 × 2 - 1) × π
    0.375091552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17838486646022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20354008} λ = -0.20354008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17838486646022))-π/2
    2×atan(3.24912219645119)-π/2
    2×1.27222145832789-π/2
    2.54444291665579-1.57079632675     		φ = 0.97364659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20354008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.661988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97364659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.785840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30645 KachelY 20477 -0.20354008 0.97364659 -11.661988 55.785840
    Oben rechts KachelX + 1 30646 KachelY 20477 -0.20344420 0.97364659 -11.656494 55.785840
    Unten links KachelX 30645 KachelY + 1 20478 -0.20354008 0.97359268 -11.661988 55.782752
    Unten rechts KachelX + 1 30646 KachelY + 1 20478 -0.20344420 0.97359268 -11.656494 55.782752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97364659-0.97359268) × R
    5.39099999999904e-05 × 6371000     		dl = 343.460609999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97364659-0.97359268) × R
    5.39099999999904e-05 × 6371000     		dr = 343.460609999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20354008--0.20344420) × cos(0.97364659) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.562287759268908 × 6371000     		do = 343.474309935369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20354008--0.20344420) × cos(0.97359268) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.562332338875607 × 6371000     		du = 343.501541454099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97364659)-sin(0.97359268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562287759268908-0.562332338875607)×R²
    abs(-0.20344420--0.20354008)×4.45796066994575e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.45796066994575e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.45796066994575e-05×40589641000000     		ar = 117974.572515414m²