Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30645 / 20403
↖ ↑ ↗
← N 56.013737°
W 11.661988°		 ← 341.46 m → N 56.013737°
W 11.656494°		 →
↑
341.42 m
↓
↑
341.42 m
↓
N 56.010667°
W 11.661988°		 ← 341.49 m →
116 587 m²		 N 56.010667°
W 11.656494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467613220214844 y=0.311332702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467613220214844 × 216)
    floor (0.467613220214844 × 65536)
    floor (30645.5)     		tx = 30645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311332702636719 × 216)
    floor (0.311332702636719 × 65536)
    floor (20403.5)     		ty = 20403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30645 / 20403 ti = "16/30645/20403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30645/20403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30645 ÷ 216
    30645 ÷ 65536     		x = 0.467605590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20403 ÷ 216
    20403 ÷ 65536     		y = 0.311325073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467605590820312 × 2 - 1) × π
    -0.064788818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20354008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311325073242188 × 2 - 1) × π
    0.377349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18547952760399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20354008} λ = -0.20354008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18547952760399))-π/2
    2×atan(3.27225558218282)-π/2
    2×1.27421023397048-π/2
    2.54842046794097-1.57079632675     		φ = 0.97762414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20354008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.661988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97762414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.013737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30645 KachelY 20403 -0.20354008 0.97762414 -11.661988 56.013737
    Oben rechts KachelX + 1 30646 KachelY 20403 -0.20344420 0.97762414 -11.656494 56.013737
    Unten links KachelX 30645 KachelY + 1 20404 -0.20354008 0.97757055 -11.661988 56.010667
    Unten rechts KachelX + 1 30646 KachelY + 1 20404 -0.20344420 0.97757055 -11.656494 56.010667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97762414-0.97757055) × R
    5.35899999999367e-05 × 6371000     		dl = 341.421889999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97762414-0.97757055) × R
    5.35899999999367e-05 × 6371000     		dr = 341.421889999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20354008--0.20344420) × cos(0.97762414) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.558994118277732 × 6371000     		do = 341.462384461321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20354008--0.20344420) × cos(0.97757055) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.559038552782153 × 6371000     		du = 341.489527344109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97762414)-sin(0.97757055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558994118277732-0.559038552782153)×R²
    abs(-0.20344420--0.20354008)×4.44345044204875e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.44345044204875e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.44345044204875e-05×40589641000000     		ar = 116587.366281409m²