Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30644 / 20431
↖ ↑ ↗
← N 55.927663°
W 11.667480°		 ← 342.19 m → N 55.927663°
W 11.661988°		 →
↑
342.19 m
↓
↑
342.19 m
↓
N 55.924586°
W 11.667480°		 ← 342.21 m →
117 096 m²		 N 55.924586°
W 11.661988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467597961425781 y=0.311759948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467597961425781 × 216)
    floor (0.467597961425781 × 65536)
    floor (30644.5)     		tx = 30644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311759948730469 × 216)
    floor (0.311759948730469 × 65536)
    floor (20431.5)     		ty = 20431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30644 / 20431 ti = "16/30644/20431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30644/20431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30644 ÷ 216
    30644 ÷ 65536     		x = 0.46759033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20431 ÷ 216
    20431 ÷ 65536     		y = 0.311752319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.0648193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20363595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311752319335938 × 2 - 1) × π
    0.376495361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18279506122527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20363595} λ = -0.20363595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18279506122527))-π/2
    2×atan(3.26348310207196)-π/2
    2×1.27345909813537-π/2
    2.54691819627073-1.57079632675     		φ = 0.97612187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20363595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.667480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97612187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.927663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30644 KachelY 20431 -0.20363595 0.97612187 -11.667480 55.927663
    Oben rechts KachelX + 1 30645 KachelY 20431 -0.20354008 0.97612187 -11.661988 55.927663
    Unten links KachelX 30644 KachelY + 1 20432 -0.20363595 0.97606816 -11.667480 55.924586
    Unten rechts KachelX + 1 30645 KachelY + 1 20432 -0.20354008 0.97606816 -11.661988 55.924586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97612187-0.97606816) × R
    5.37099999999846e-05 × 6371000     		dl = 342.186409999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97612187-0.97606816) × R
    5.37099999999846e-05 × 6371000     		dr = 342.186409999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20363595--0.20354008) × cos(0.97612187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560239126685988 × 6371000     		do = 342.187206855275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20363595--0.20354008) × cos(0.97606816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560283615531857 × 6371000     		du = 342.214380098233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97612187)-sin(0.97606816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560239126685988-0.560283615531857)×R²
    abs(-0.20354008--0.20363595)×4.44888458691617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44888458691617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44888458691617e-05×40589641000000     		ar = 117096.461046775m²