Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30644 / 20267
↖ ↑ ↗
← N 56.429092°
W 11.667480°		 ← 337.75 m → N 56.429092°
W 11.661988°		 →
↑
337.79 m
↓
↑
337.79 m
↓
N 56.426054°
W 11.667480°		 ← 337.77 m →
114 092 m²		 N 56.426054°
W 11.661988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467597961425781 y=0.309257507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467597961425781 × 216)
    floor (0.467597961425781 × 65536)
    floor (30644.5)     		tx = 30644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309257507324219 × 216)
    floor (0.309257507324219 × 65536)
    floor (20267.5)     		ty = 20267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30644 / 20267 ti = "16/30644/20267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30644/20267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30644 ÷ 216
    30644 ÷ 65536     		x = 0.46759033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20267 ÷ 216
    20267 ÷ 65536     		y = 0.309249877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.0648193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20363595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309249877929688 × 2 - 1) × π
    0.381500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19851836430064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20363595} λ = -0.20363595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19851836430064))-π/2
    2×atan(3.31520136141259)-π/2
    2×1.27783488930342-π/2
    2.55566977860684-1.57079632675     		φ = 0.98487345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20363595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.667480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98487345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.429092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30644 KachelY 20267 -0.20363595 0.98487345 -11.667480 56.429092
    Oben rechts KachelX + 1 30645 KachelY 20267 -0.20354008 0.98487345 -11.661988 56.429092
    Unten links KachelX 30644 KachelY + 1 20268 -0.20363595 0.98482043 -11.667480 56.426054
    Unten rechts KachelX + 1 30645 KachelY + 1 20268 -0.20354008 0.98482043 -11.661988 56.426054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98487345-0.98482043) × R
    5.30200000000702e-05 × 6371000     		dl = 337.790420000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98487345-0.98482043) × R
    5.30200000000702e-05 × 6371000     		dr = 337.790420000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20363595--0.20354008) × cos(0.98487345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552968560604173 × 6371000     		do = 337.746434011525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20363595--0.20354008) × cos(0.98482043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553012736203267 × 6371000     		du = 337.773415927184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98487345)-sin(0.98482043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552968560604173-0.553012736203267)×R²
    abs(-0.20354008--0.20363595)×4.41755990943093e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41755990943093e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41755990943093e-05×40589641000000     		ar = 114092.066941481m²